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Theorem isphg 27672
Description: The predicate "is a complex inner product space." An inner product space is a normed vector space whose norm satisfies the parallelogram law. The vector (group) addition operation is G, the scalar product is S, and the norm is N. An inner product space is also called a pre-Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isphg.1 |- X = ran G
Assertion
Ref Expression
isphg |- ( ( G e. A /\ S e. B /\ N e. C ) -> ( <. <. G , S >. , N >. e. CPreHil OLD <-> ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, G   x, N, y   x, S, y   x, X, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)
Proof of Theorem isphg
Dummy variables g n s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ph 27668 . . 3 |- CPreHil OLD = ( NrmCVec i^i { <. <. g , s >. , n >. | A. x e. ran g A. y e. ran g ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) } )
21elin2 3801 . 2 |- ( <. <. G , S >. , N >. e. CPreHil OLD <-> ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec /\ <. <. G , S >. , N >. e. { <. <. g , s >. , n >. | A. x e. ran g A. y e. ran g ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) } ) )
3 rneq 5351 . . . . . 6 |- ( g = G -> ran g = ran G )
4 isphg.1 . . . . . 6 |- X = ran G
53, 4syl6eqr 2674 . . . . 5 |- ( g = G -> ran g = X )
6 oveq 6656 . . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x g y ) = ( x G y ) )
76fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( n ` ( x g y ) ) = ( n ` ( x G y ) ) )
87oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) = ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) )
9 oveq 6656 . . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x g ( -u 1 s y ) ) = ( x G ( -u 1 s y ) ) )
109fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) = ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) )
1110oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) )
128, 11oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) )
1312eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
145, 13raleqbidv 3152 . . . . 5 |- ( g = G -> ( A. y e. ran g ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
155, 14raleqbidv 3152 . . . 4 |- ( g = G -> ( A. x e. ran g A. y e. ran g ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
16 oveq 6656 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( -u 1 s y ) = ( -u 1 S y ) )
1716oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( x G ( -u 1 s y ) ) = ( x G ( -u 1 S y ) ) )
1817fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) = ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1918oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2120eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
22212ralbidv 2989 . . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
23 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n ` ( x G y ) ) = ( N ` ( x G y ) ) )
2423oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) )
25 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) = ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
2625oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) )
2724, 26oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) )
28 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( n ` x ) = ( N ` x ) )
2928oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( n ` x ) ^ 2 ) = ( ( N ` x ) ^ 2 ) )
30 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( n ` y ) = ( N ` y ) )
3130oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( n ` y ) ^ 2 ) = ( ( N ` y ) ^ 2 ) )
3229, 31oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) )
3427, 33eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
35342ralbidv 2989 . . . 4 |- ( n = N -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( n ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
3615, 22, 35eloprabg 6748 . . 3 |- ( ( G e. A /\ S e. B /\ N e. C ) -> ( <. <. G , S >. , N >. e. { <. <. g , s >. , n >. | A. x e. ran g A. y e. ran g ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) } <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
3736anbi2d 740 . 2 |- ( ( G e. A /\ S e. B /\ N e. C ) -> ( ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec /\ <. <. G , S >. , N >. e. { <. <. g , s >. , n >. | A. x e. ran g A. y e. ran g ( ( ( n ` ( x g y ) ) ^ 2 ) + ( ( n ` ( x g ( -u 1 s y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( n ` x ) ^ 2 ) + ( ( n ` y ) ^ 2 ) ) ) } ) <-> ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
382, 37syl5bb 272 1 |- ( ( G e. A /\ S e. B /\ N e. C ) -> ( <. <. G , S >. , N >. e. CPreHil OLD <-> ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( N ` ( x G y ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( x G ( -u 1 S y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` x ) ^ 2 ) + ( ( N ` y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   {coprab 6651   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   2c2 11070   ^cexp 12860   NrmCVeccnv 27439   CPreHil OLDccphlo 27667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-ph 27668
This theorem is referenced by:  cncph  27674  isph  27677  phpar  27679  hhph  28035
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