Theorem rneq 5351

Description: Equality theorem for range. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
rneq	|- ( A = B -> ran A = ran B )

Proof of Theorem rneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5296	. . 3 |- ( A = B -> `' A = `' B )
2	1	dmeqd 5326	. 2 |- ( A = B -> dom `' A = dom `' B )
3		df-rn 5125	. 2 |- ran A = dom `' A
4		df-rn 5125	. 2 |- ran B = dom `' B
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2681	1 |- ( A = B -> ran A = ran B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rneqi  5352  rneqd  5353  feq1  6026  foeq1  6111  fnrnfv  6242  fconst5  6471  frxp  7287  tz7.44-2  7503  tz7.44-3  7504  ixpsnf1o  7948  ordtypecbv  8422  ordtypelem3  8425  dfac8alem  8852  dfac8a  8853  dfac5lem3  8948  dfac9  8958  dfac12lem1  8965  dfac12r  8968  ackbij2  9065  isfin3ds  9151  fin23lem17  9160  fin23lem29  9163  fin23lem30  9164  fin23lem32  9166  fin23lem34  9168  fin23lem35  9169  fin23lem39  9172  fin23lem41  9174  isf33lem  9188  isf34lem6  9202  dcomex  9269  axdc2lem  9270  zorn2lem1  9318  zorn2g  9325  ttukey2g  9338  gruurn  9620  rpnnen1lem6  11819  rpnnen1OLD  11825  relexp0g  13762  relexpsucnnr  13765  dfrtrcl2  13802  mpfrcl  19518  ply1frcl  19683  pnrmopn  21147  isi1f  23441  itg1val  23450  axlowdimlem13  25834  axlowdim1  25839  ausgrusgri  26063  0uhgrsubgr  26171  cusgrsize  26350  ex-rn  27297  gidval  27366  grpoinvfval  27376  grpodivfval  27388  isablo  27400  vciOLD  27416  isvclem  27432  isnvlem  27465  isphg  27672  pj11i  28570  hmopidmch  29012  hmopidmpj  29013  pjss1coi  29022  padct  29497  locfinreflem  29907  locfinref  29908  issibf  30395  sitgfval  30403  mrsubvrs  31419  rdgprc0  31699  rdgprc  31700  dfrdg2  31701  madeval  31935  brrangeg  32043  poimirlem24  33433  volsupnfl  33454  elghomlem1OLD  33684  isdivrngo  33749  iscom2  33794  dnnumch1  37614  aomclem3  37626  aomclem8  37631  rclexi  37922  rtrclex  37924  rtrclexi  37928  cnvrcl0  37932  dfrtrcl5  37936  dfrcl2  37966  csbima12gALTVD  39133  unirnmap  39400  ssmapsn  39408  sge0val  40583  vonvolmbl  40875