Theorem ispos2 16948

Description: A poset is an antisymmetric preset.

EDITORIAL: could become the definition of poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ispos2.b	|- B = ( Base ` K )
ispos2.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
ispos2	|- ( K e. Poset <-> ( K e. Preset /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, K, y   x, B, y   x, .<_ , y

Proof of Theorem ispos2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anan32 1050	. . . . . . 7 |- ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
2	1	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> A. z e. B ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
3		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. z e. B ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
4	2, 3	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
5	4	2ralbii 2981	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
6		r19.26-2 3065	. . . . 5 |- ( A. x e. B A. y e. B ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
7		rr19.3v 3345	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) <-> A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
8	7	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
9	8	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
10	6, 9	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. z e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
11	5, 10	bitri 264	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
12	11	anbi2i 730	. 2 |- ( ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) <-> ( K e. _V /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) ) )
13		ispos2.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
14		ispos2.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
15	13, 14	ispos 16947	. 2 |- ( K e. Poset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
16	13, 14	isprs 16930	. . . 4 |- ( K e. Preset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
17	16	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
18		anass 681	. . 3 |- ( ( ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( K e. _V /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) ) )
19	17, 18	bitri 264	. 2 |- ( ( K e. Preset /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) <-> ( K e. _V /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) ) )
20	12, 15, 19	3bitr4i 292	1 |- ( K e. Poset <-> ( K e. Preset /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926   Posetcpo 16940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946

This theorem is referenced by:  posprs  16949