Theorem oduprs 29656

Description: Being a preset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduprs.d	|- D = (ODual ` K )

Assertion

Ref	Expression
oduprs	|- ( K e. Preset -> D e. Preset )

Proof of Theorem oduprs

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
3	1, 2	isprs 16930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Preset <-> ( K e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
4	3	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Preset -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) )
5	4	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) -> A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) )
6	5	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) )
7	6	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> x ( le ` K ) x )
9		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
10	9, 9	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( x `' ( le ` K ) x <-> x ( le ` K ) x )
11	8, 10	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> x `' ( le ` K ) x )
12	1, 2	isprs 16930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. Preset <-> ( K e. _V /\ A. z e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) )
13	12	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. Preset -> A. z e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) )
14	13	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Preset /\ z e. ( Base ` K ) ) -> A. y e. ( Base ` K ) A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) )
15	14	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. Preset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) )
16	15	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) )
17	16	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) )
18	17	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Preset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( y e. ( Base ` K ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) )
20	19	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( y e. ( Base ` K ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) )
21	20	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) )
22	21	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) )
23		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
24	9, 23	brcnv 5305	. . . . . . . . 9 |- ( x `' ( le ` K ) y <-> y ( le ` K ) x )
25		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
26	23, 25	brcnv 5305	. . . . . . . . 9 |- ( y `' ( le ` K ) z <-> z ( le ` K ) y )
27	24, 26	anbi12ci 734	. . . . . . . 8 |- ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) <-> ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) )
28	9, 25	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( x `' ( le ` K ) z <-> z ( le ` K ) x )
29	22, 27, 28	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) )
30	11, 29	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) )
31	30	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) )
32	31	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( K e. Preset /\ x e. ( Base ` K ) ) -> A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) )
33	32	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( K e. Preset -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) )
34		oduprs.d	. . . 4 |- D = (ODual ` K )
35		fvex 6201	. . . 4 |- (ODual ` K ) e. _V
36	34, 35	eqeltri 2697	. . 3 |- D e. _V
37	33, 36	jctil 560	. 2 |- ( K e. Preset -> ( D e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) )
38	34, 1	odubas 17133	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` D )
39	34, 2	oduleval 17131	. . 3 |- `' ( le ` K ) = ( le ` D )
40	38, 39	isprs 16930	. 2 |- ( D e. Preset <-> ( D e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) )
41	37, 40	sylibr 224	1 |- ( K e. Preset -> D e. Preset )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926  ODualcodu 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ple 15961  df-preset 16928  df-odu 17129

This theorem is referenced by:  ordtcnvNEW  29966