Theorem iunun 4604

Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunun	|- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Proof of Theorem iunun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.43 3093	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
2		elun 3753	. . . . 5 |- ( y e. ( B u. C ) <-> ( y e. B \/ y e. C ) )
3	2	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> E. x e. A ( y e. B \/ y e. C ) )
4		eliun 4524	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
5		eliun 4524	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
6	4, 5	orbi12i 543	. . . 4 |- ( ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) <-> ( E. x e. A y e. B \/ E. x e. A y e. C ) )
7	1, 3, 6	3bitr4i 292	. . 3 |- ( E. x e. A y e. ( B u. C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
8		eliun 4524	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> E. x e. A y e. ( B u. C ) )
9		elun 3753	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) <-> ( y e. U_ x e. A B \/ y e. U_ x e. A C ) )
10	7, 8, 9	3bitr4i 292	. 2 |- ( y e. U_ x e. A ( B u. C ) <-> y e. ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C ) )
11	10	eqriv 2619	1 |- U_ x e. A ( B u. C ) = ( U_ x e. A B u. U_ x e. A C )

Syntax hints:   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   u. cun 3572   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-un 3579  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  iununi  4610  oarec  7642  comppfsc  21335  uniiccdif  23346  bnj1415  31106  dftrpred4g  31734