Theorem oarec 7642

Description: Recursive definition of ordinal addition. Exercise 25 of [Enderton] p. 240. (Contributed by NM, 26-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oarec	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem oarec

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( A +o z ) = ( A +o (/) ) )
2		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ( x e. (/) |-> ( A +o x ) ) )
3		mpt0 6021	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> ( A +o x ) ) = (/)
4	2, 3	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( z = (/) -> ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = (/) )
5	4	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ran (/) )
6		rn0 5377	. . . . . 6 |- ran (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = (/) )
8	7	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. (/) ) )
9	1, 8	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( A +o z ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) <-> ( A +o (/) ) = ( A u. (/) ) ) )
10		oveq2 6658	. . . 4 |- ( z = w -> ( A +o z ) = ( A +o w ) )
11		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ( x e. w |-> ( A +o x ) ) )
12	11	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( z = w -> ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) )
13	12	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( z = w -> ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( z = w -> ( ( A +o z ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) <-> ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) ) )
15		oveq2 6658	. . . 4 |- ( z = suc w -> ( A +o z ) = ( A +o suc w ) )
16		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( z = suc w -> ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) )
17	16	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( z = suc w -> ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) )
18	17	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( z = suc w -> ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) )
19	15, 18	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( z = suc w -> ( ( A +o z ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) <-> ( A +o suc w ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) ) )
20		oveq2 6658	. . . 4 |- ( z = B -> ( A +o z ) = ( A +o B ) )
21		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ( x e. B |-> ( A +o x ) ) )
22	21	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( z = B -> ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) )
23	22	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( z = B -> ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) )
24	20, 23	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( z = B -> ( ( A +o z ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) <-> ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) ) )
25		oa0 7596	. . . 4 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
26		un0 3967	. . . 4 |- ( A u. (/) ) = A
27	25, 26	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = ( A u. (/) ) )
28		uneq1 3760	. . . . . 6 |- ( ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) -> ( ( A +o w ) u. { ( A +o w ) } ) = ( ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) u. { ( A +o w ) } ) )
29		unass 3770	. . . . . . 7 |- ( ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) u. { ( A +o w ) } ) = ( A u. ( ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) u. { ( A +o w ) } ) )
30		rexun 3793	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. ( w u. { w } ) y = ( A +o x ) <-> ( E. x e. w y = ( A +o x ) \/ E. x e. { w } y = ( A +o x ) ) )
31		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . 12 |- suc w = ( w u. { w } )
32	31	rexeqi 3143	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. suc w y = ( A +o x ) <-> E. x e. ( w u. { w } ) y = ( A +o x ) )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. w |-> ( A +o x ) ) = ( x e. w |-> ( A +o x ) )
35	34	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. x e. w y = ( A +o x ) ) )
36	33, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. x e. w y = ( A +o x ) )
37		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { ( A +o w ) } <-> y = ( A +o w ) )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( A +o x ) = ( A +o w ) )
40	39	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( y = ( A +o x ) <-> y = ( A +o w ) ) )
41	38, 40	rexsn 4223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. { w } y = ( A +o x ) <-> y = ( A +o w ) )
42	37, 41	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { ( A +o w ) } <-> E. x e. { w } y = ( A +o x ) )
43	36, 42	orbi12i 543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) \/ y e. { ( A +o w ) } ) <-> ( E. x e. w y = ( A +o x ) \/ E. x e. { w } y = ( A +o x ) ) )
44	30, 32, 43	3bitr4i 292	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. suc w y = ( A +o x ) <-> ( y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) \/ y e. { ( A +o w ) } ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) = ( x e. suc w |-> ( A +o x ) )
46		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( A +o x ) e. _V
47	45, 46	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) <-> E. x e. suc w y = ( A +o x ) )
48		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) u. { ( A +o w ) } ) <-> ( y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) \/ y e. { ( A +o w ) } ) )
49	44, 47, 48	3bitr4i 292	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) <-> y e. ( ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) u. { ( A +o w ) } ) )
50	49	eqriv 2619	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) = ( ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) u. { ( A +o w ) } )
51	50	uneq2i 3764	. . . . . . 7 |- ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ( ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) u. { ( A +o w ) } ) )
52	29, 51	eqtr4i 2647	. . . . . 6 |- ( ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) u. { ( A +o w ) } ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) )
53	28, 52	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) -> ( ( A +o w ) u. { ( A +o w ) } ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) )
54		oasuc 7604	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ w e. On ) -> ( A +o suc w ) = suc ( A +o w ) )
55		df-suc 5729	. . . . . . 7 |- suc ( A +o w ) = ( ( A +o w ) u. { ( A +o w ) } )
56	54, 55	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ w e. On ) -> ( A +o suc w ) = ( ( A +o w ) u. { ( A +o w ) } ) )
57	56	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ w e. On ) -> ( ( A +o suc w ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) <-> ( ( A +o w ) u. { ( A +o w ) } ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) ) )
58	53, 57	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ w e. On ) -> ( ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) -> ( A +o suc w ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) ) )
59	58	expcom 451	. . 3 |- ( w e. On -> ( A e. On -> ( ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) -> ( A +o suc w ) = ( A u. ran ( x e. suc w |-> ( A +o x ) ) ) ) ) )
60		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
61		oalim 7612	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ ( z e. _V /\ Lim z ) ) -> ( A +o z ) = U_ w e. z ( A +o w ) )
62	60, 61	mpanr1 719	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ Lim z ) -> ( A +o z ) = U_ w e. z ( A +o w ) )
63	62	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( Lim z /\ A e. On ) -> ( A +o z ) = U_ w e. z ( A +o w ) )
64	63	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( Lim z /\ A e. On ) /\ A. w e. z ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) ) -> ( A +o z ) = U_ w e. z ( A +o w ) )
65		iuneq2 4537	. . . . . 6 |- ( A. w e. z ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) -> U_ w e. z ( A +o w ) = U_ w e. z ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) )
66	65	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( Lim z /\ A e. On ) /\ A. w e. z ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) ) -> U_ w e. z ( A +o w ) = U_ w e. z ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) )
67		iunun 4604	. . . . . . 7 |- U_ w e. z ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) = ( U_ w e. z A u. U_ w e. z ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) )
68		0ellim 5787	. . . . . . . . 9 |- ( Lim z -> (/) e. z )
69		ne0i 3921	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. z -> z =/= (/) )
70		iunconst 4529	. . . . . . . . 9 |- ( z =/= (/) -> U_ w e. z A = A )
71	68, 69, 70	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( Lim z -> U_ w e. z A = A )
72		limuni 5785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim z -> z = U. z )
73	72	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( E. x e. z y = ( A +o x ) <-> E. x e. U. z y = ( A +o x ) ) )
74		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. w y = ( A +o x ) <-> E. x ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
75	36, 74	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. x ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
76	75	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w e. z y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. w e. z E. x ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
77		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U. z <-> E. w e. z x e. w )
78	77	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. U. z /\ y = ( A +o x ) ) <-> ( E. w e. z x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
79		r19.41v 3089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. w e. z ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) <-> ( E. w e. z x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
80	78, 79	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. U. z /\ y = ( A +o x ) ) <-> E. w e. z ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
81	80	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x ( x e. U. z /\ y = ( A +o x ) ) <-> E. x E. w e. z ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
82		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. U. z y = ( A +o x ) <-> E. x ( x e. U. z /\ y = ( A +o x ) ) )
83		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. z E. x ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) <-> E. x E. w e. z ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
84	81, 82, 83	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. U. z y = ( A +o x ) <-> E. w e. z E. x ( x e. w /\ y = ( A +o x ) ) )
85	76, 84	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. w e. z y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. x e. U. z y = ( A +o x ) )
86	73, 85	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( E. w e. z y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. x e. z y = ( A +o x ) ) )
87		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. U_ w e. z ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> E. w e. z y e. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. z |-> ( A +o x ) ) = ( x e. z |-> ( A +o x ) )
89	88, 46	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) <-> E. x e. z y = ( A +o x ) )
90	86, 87, 89	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( Lim z -> ( y e. U_ w e. z ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) <-> y e. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) )
91	90	eqrdv 2620	. . . . . . . 8 |- ( Lim z -> U_ w e. z ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) = ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) )
92	71, 91	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( Lim z -> ( U_ w e. z A u. U_ w e. z ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) )
93	67, 92	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( Lim z -> U_ w e. z ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) )
94	93	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( Lim z /\ A e. On ) /\ A. w e. z ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) ) -> U_ w e. z ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) )
95	64, 66, 94	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( Lim z /\ A e. On ) /\ A. w e. z ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) ) -> ( A +o z ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) )
96	95	exp31 630	. . 3 |- ( Lim z -> ( A e. On -> ( A. w e. z ( A +o w ) = ( A u. ran ( x e. w |-> ( A +o x ) ) ) -> ( A +o z ) = ( A u. ran ( x e. z |-> ( A +o x ) ) ) ) ) )
97	9, 14, 19, 24, 27, 59, 96	tfinds3 7064	. 2 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) ) )
98	97	impcom 446	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( A u. ran ( x e. B |-> ( A +o x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  oacomf1o  7645  onacda  9019