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Theorem comppfsc 21335
Description: A space where every open cover has a point-finite subcover is compact. This is significant in part because it shows half of the proposition that if only half the generalization in the definition of metacompactness (and consequently paracompactness) is performed, one does not obtain any more spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
comppfsc.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
comppfsc |- ( J e. Top -> ( J e. Comp <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
Distinct variable groups:   c, d, J   X, c, d
Proof of Theorem comppfsc
Dummy variables a b f p q s x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4168 . . . 4 |- ( c e. ~P J -> c C_ J )
2 comppfsc.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
32cmpcov 21192 . . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d )
4 elfpw 8268 . . . . . . . 8 |- ( d e. ( ~P c i^i Fin ) <-> ( d C_ c /\ d e. Fin ) )
5 finptfin 21321 . . . . . . . . . . 11 |- ( d e. Fin -> d e. PtFin )
65anim1i 592 . . . . . . . . . 10 |- ( ( d e. Fin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
76anassrs 680 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( d e. Fin /\ d C_ c ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
87ancom1s 847 . . . . . . . 8 |- ( ( ( d C_ c /\ d e. Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
94, 8sylanb 489 . . . . . . 7 |- ( ( d e. ( ~P c i^i Fin ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin /\ ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
109reximi2 3010 . . . . . 6 |- ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) )
113, 10syl 17 . . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) )
12113exp 1264 . . . 4 |- ( J e. Comp -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
131, 12syl5 34 . . 3 |- ( J e. Comp -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
1413ralrimiv 2965 . 2 |- ( J e. Comp -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) )
15 elpwi 4168 . . . . . . 7 |- ( a e. ~P J -> a C_ J )
16 0elpw 4834 . . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ~P a
17 0fin 8188 . . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
18 elin 3796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P a /\ (/) e. Fin ) )
1916, 17, 18mpbir2an 955 . . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ( ~P a i^i Fin )
20 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
21 uni0 4465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. (/) = (/)
2220, 21syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = (/) -> U. b = (/) )
2322eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = (/) ) )
2423rspcev 3309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) /\ X = (/) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
2519, 24mpan 706 . . . . . . . . . 10 |- ( X = (/) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
2625a1d 25 . . . . . . . . 9 |- ( X = (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
2726a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( X = (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
28 n0 3931 . . . . . . . . 9 |- ( X =/= (/) <-> E. x x e. X )
29 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> X = U. a )
3029eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X <-> x e. U. a ) )
3130biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> x e. U. a ) )
32 eluni2 4440 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. a <-> E. s e. a x e. s )
3331, 32syl6ib 241 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> E. s e. a x e. s ) )
34 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> a C_ J )
35 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. a )
3634, 35sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. J )
37 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. J -> s C_ U. J )
3837, 2syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. J -> s C_ X )
3936, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s C_ X )
4039ralrimivw 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. p e. a s C_ X )
41 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ p e. a s C_ X <-> A. p e. a s C_ X )
4240, 41sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> U_ p e. a s C_ X )
43 ssequn1 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U_ p e. a s C_ X <-> ( U_ p e. a s u. X ) = X )
4442, 43sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( U_ p e. a s u. X ) = X )
45 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U. a )
46 uniiun 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. a = U_ p e. a p
4745, 46syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U_ p e. a p )
4847uneq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( U_ p e. a s u. X ) = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) )
4944, 48eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) )
50 iunun 4604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ p e. a ( s u. p ) = ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p )
51 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
52 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- p e. _V
5351, 52unex 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s u. p ) e. _V
5453dfiun3 5380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ p e. a ( s u. p ) = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) )
5550, 54eqtr3i 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ p e. a s u. U_ p e. a p ) = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) )
5649, 55syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
57 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> J e. Top )
5836adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> s e. J )
5934sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> p e. J )
60 unopn 20708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ s e. J /\ p e. J ) -> ( s u. p ) e. J )
6157, 58, 59, 60syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ p e. a ) -> ( s u. p ) e. J )
62 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. a |-> ( s u. p ) ) = ( p e. a |-> ( s u. p ) )
6361, 62fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( p e. a |-> ( s u. p ) ) : a --> J )
64 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. a |-> ( s u. p ) ) : a --> J -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J )
66 elpw2g 4827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. Top -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
67663ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J <-> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) C_ J ) )
6965, 68mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J )
70 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> U. c = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
7170eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( X = U. c <-> X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) ) )
72 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( d C_ c <-> d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) ) )
7372anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( ( d C_ c /\ X = U. d ) <-> ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
7473rexbidv 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) <-> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
7571, 74imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) <-> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
7675rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) e. ~P J -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
7769, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( X = U. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) ) )
7856, 77mpid 44 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) )
79 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. s )
80 ssel2 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( a C_ J /\ s e. a ) -> s e. J )
81803ad2antl3 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ s e. a ) -> s e. J )
8281adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> s e. J )
83 elunii 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. s /\ s e. J ) -> x e. U. J )
8479, 82, 83syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. U. J )
8584, 2syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. X )
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> x e. X )
87 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> X = U. d )
8886, 87eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> x e. U. d )
89 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. d = U. d
9089ptfinfin 21322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. PtFin /\ x e. U. d ) -> { z e. d | x e. z } e. Fin )
9190expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. U. d -> ( d e. PtFin -> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
9288, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin -> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
93 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) )
94 elun1 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. s -> x e. ( s u. p ) )
9594ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> x e. ( s u. p ) )
9695ralrimivw 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. p e. a x e. ( s u. p ) )
9753rgenw 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- A. p e. a ( s u. p ) e. _V
98 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = ( s u. p ) -> ( x e. z <-> x e. ( s u. p ) ) )
9962, 98ralrnmpt 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. p e. a ( s u. p ) e. _V -> ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z <-> A. p e. a x e. ( s u. p ) ) )
10097, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z <-> A. p e. a x e. ( s u. p ) )
10196, 100sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z )
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z )
103 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) -> ( A. z e. ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) x e. z -> A. z e. d x e. z ) )
10493, 102, 103sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. z e. d x e. z )
105 rabid2 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = { z e. d | x e. z } <-> A. z e. d x e. z )
106104, 105sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d = { z e. d | x e. z } )
107106eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin <-> { z e. d | x e. z } e. Fin ) )
108107biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( { z e. d | x e. z } e. Fin -> d e. Fin ) )
10962rnmpt 5371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) = { q | E. p e. a q = ( s u. p ) }
11093, 109syl6sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> d C_ { q | E. p e. a q = ( s u. p ) } )
111 ssabral 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d C_ { q | E. p e. a q = ( s u. p ) } <-> A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) )
112110, 111sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) )
113 uneq2 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = ( f ` q ) -> ( s u. p ) = ( s u. ( f ` q ) ) )
114113eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = ( f ` q ) -> ( q = ( s u. p ) <-> q = ( s u. ( f ` q ) ) ) )
115114ac6sfi 8204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d e. Fin /\ A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) ) -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) )
116115expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. q e. d E. p e. a q = ( s u. p ) -> ( d e. Fin -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) )
117112, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) )
118 frn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f : d --> a -> ran f C_ a )
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> ran f C_ a )
120119ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f C_ a )
12135ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> s e. a )
122121snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> { s } C_ a )
123120, 122unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) C_ a )
124 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> d e. Fin )
125 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f : d --> a )
126 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f : d --> a -> f Fn d )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f Fn d )
128 dffn4 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn d <-> f : d -onto-> ran f )
129127, 128sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> f : d -onto-> ran f )
130 fofi 8252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( d e. Fin /\ f : d -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
131124, 129, 130syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
132 snfi 8038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { s } e. Fin
133 unfi 8227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f e. Fin /\ { s } e. Fin ) -> ( ran f u. { s } ) e. Fin )
134131, 132, 133sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) e. Fin )
135 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) <-> ( ( ran f u. { s } ) C_ a /\ ( ran f u. { s } ) e. Fin ) )
136123, 134, 135sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) )
137 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U. d )
138 uniiun 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U. d = U_ q e. d q
139 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) )
140 iuneq2 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) -> U_ q e. d q = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U_ q e. d q = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
142138, 141syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U. d = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
143137, 142eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) )
144 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- { s } C_ ( ran f u. { s } )
145 vsnid 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- s e. { s }
146144, 145sselii 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- s e. ( ran f u. { s } )
147 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s e. ( ran f u. { s } ) -> s C_ U. ( ran f u. { s } ) )
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- s C_ U. ( ran f u. { s } )
149 fvssunirn 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f ` q ) C_ U. ran f
150 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ran f C_ ( ran f u. { s } )
151150unissi 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- U. ran f C_ U. ( ran f u. { s } )
152149, 151sstri 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f ` q ) C_ U. ( ran f u. { s } )
153148, 152unssi 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
154153rgenw 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- A. q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
155 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } ) <-> A. q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } ) )
156154, 155mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- U_ q e. d ( s u. ( f ` q ) ) C_ U. ( ran f u. { s } )
157143, 156syl6eqss 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X C_ U. ( ran f u. { s } ) )
15834ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> a C_ J )
159120, 158sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ran f C_ J )
16036ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> s e. J )
161160snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> { s } C_ J )
162159, 161unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> ( ran f u. { s } ) C_ J )
163 uniss 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ran f u. { s } ) C_ J -> U. ( ran f u. { s } ) C_ U. J )
164163, 2syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ran f u. { s } ) C_ J -> U. ( ran f u. { s } ) C_ X )
165162, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> U. ( ran f u. { s } ) C_ X )
166157, 165eqssd 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> X = U. ( ran f u. { s } ) )
167 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = ( ran f u. { s } ) -> U. b = U. ( ran f u. { s } ) )
168167eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = ( ran f u. { s } ) -> ( X = U. b <-> X = U. ( ran f u. { s } ) ) )
169168rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ran f u. { s } ) e. ( ~P a i^i Fin ) /\ X = U. ( ran f u. { s } ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
170136, 166, 169syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ ( d e. Fin /\ ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b )
171170expr 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ d e. Fin ) -> ( ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
172171exlimdv 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) /\ d e. Fin ) -> ( E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
173172ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> ( E. f ( f : d --> a /\ A. q e. d q = ( s u. ( f ` q ) ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
174117, 173mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. Fin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
17592, 108, 1743syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) /\ ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) ) -> ( d e. PtFin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
176175ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> ( d e. PtFin -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
177176com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( d e. PtFin -> ( ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
178177rexlimdv 3030 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( E. d e. PtFin ( d C_ ran ( p e. a |-> ( s u. p ) ) /\ X = U. d ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
17978, 178syld 47 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) /\ ( s e. a /\ x e. s ) ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
180179rexlimdvaa 3032 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( E. s e. a x e. s -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
18133, 180syld 47 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( x e. X -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
182181exlimdv 1861 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( E. x x e. X -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
18328, 182syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( X =/= (/) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
18427, 183pm2.61dne 2880 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a C_ J ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
18515, 184syl3an3 1361 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ X = U. a /\ a e. ~P J ) -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) )
1861853exp 1264 . . . . 5 |- ( J e. Top -> ( X = U. a -> ( a e. ~P J -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) )
187186com24 95 . . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> ( a e. ~P J -> ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) ) )
188187ralrimdv 2968 . . 3 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
1892iscmp 21191 . . . 4 |- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) ) )
190189baibr 945 . . 3 |- ( J e. Top -> ( A. a e. ~P J ( X = U. a -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) X = U. b ) <-> J e. Comp ) )
191188, 190sylibd 229 . 2 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) -> J e. Comp ) )
19214, 191impbid2 216 1 |- ( J e. Top -> ( J e. Comp <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. PtFin ( d C_ c /\ X = U. d ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189   PtFincptfin 21306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-top 20699  df-cmp 21190  df-ptfin 21309
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