Theorem ixpiin 7934

Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpiin	|- ( B =/= (/) -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)

Proof of Theorem ixpiin

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28zv 4066	. . . 4 |- ( B =/= (/) -> ( A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
2		vex 3203	. . . . . 6 |- f e. _V
3		eliin 4525	. . . . . 6 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B f e. X_ x e. A C )
5	2	elixp 7915	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
6	5	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. B f e. X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
7	4, 6	bitri 264	. . . 4 |- ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> A. y e. B ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
8	2	elixp 7915	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) )
9		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( f ` x ) e. _V
10		eliin 4525	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) e. _V -> ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B ( f ` x ) e. C )
12	11	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C )
13		ralcom 3098	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. B ( f ` x ) e. C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
14	12, 13	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C <-> A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C )
15	14	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. |^|_ y e. B C ) <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
16	8, 15	bitri 264	. . . 4 |- ( f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C <-> ( f Fn A /\ A. y e. B A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
17	1, 7, 16	3bitr4g 303	. . 3 |- ( B =/= (/) -> ( f e. |^|_ y e. B X_ x e. A C <-> f e. X_ x e. A |^|_ y e. B C ) )
18	17	eqrdv 2620	. 2 |- ( B =/= (/) -> |^|_ y e. B X_ x e. A C = X_ x e. A |^|_ y e. B C )
19	18	eqcomd 2628	1 |- ( B =/= (/) -> X_ x e. A |^|_ y e. B C = |^|_ y e. B X_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  ixpint  7935  ptbasfi  21384  iccvonmbllem  40892