Theorem ixpint 7935

Description: The intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpint	|- ( B =/= (/) -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem ixpint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpeq2 7922	. . 3 |- ( A. x e. A |^| B = |^|_ y e. B y -> X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y )
2		intiin 4574	. . . 4 |- |^| B = |^|_ y e. B y
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( x e. A -> |^| B = |^|_ y e. B y )
4	1, 3	mprg 2926	. 2 |- X_ x e. A |^| B = X_ x e. A |^|_ y e. B y
5		ixpiin 7934	. 2 |- ( B =/= (/) -> X_ x e. A |^|_ y e. B y = |^|_ y e. B X_ x e. A y )
6	4, 5	syl5eq 2668	1 |- ( B =/= (/) -> X_ x e. A |^| B = |^|_ y e. B X_ x e. A y )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   |^|cint 4475   |^|_ciin 4521   X_cixp 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by: (None)