Theorem knatar 6607

Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice ~P A. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
knatar.1	|- X = |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z }

Assertion

Ref	Expression
knatar	|- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( X C_ A /\ ( F ` X ) = X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, F, y, z   x, X, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)   X( z)

Proof of Theorem knatar

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knatar.1	. . 3 |- X = |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z }
2		pwidg 4173	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. ~P A )
3	2	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> A e. ~P A )
4		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` A ) C_ A )
5		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( F ` z ) = ( F ` A ) )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( z = A -> z = A )
7	5, 6	sseq12d 3634	. . . . 5 |- ( z = A -> ( ( F ` z ) C_ z <-> ( F ` A ) C_ A ) )
8	7	intminss 4503	. . . 4 |- ( ( A e. ~P A /\ ( F ` A ) C_ A ) -> |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z } C_ A )
9	3, 4, 8	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z } C_ A )
10	1, 9	syl5eqss 3649	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> X C_ A )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
12		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> z = w )
13	11, 12	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) C_ z <-> ( F ` w ) C_ w ) )
14	13	intminss 4503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) -> |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z } C_ w )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z } C_ w )
16	1, 15	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> X C_ w )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
18	17	elpw2 4828	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. ~P w <-> X C_ w )
19	16, 18	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> X e. ~P w )
20		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> w e. ~P A )
21		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) )
22		pweq 4161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ~P x = ~P w )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
24	23	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> ( F ` y ) C_ ( F ` w ) ) )
25	22, 24	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> A. y e. ~P w ( F ` y ) C_ ( F ` w ) ) )
26	25	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P A -> ( A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) -> A. y e. ~P w ( F ` y ) C_ ( F ` w ) ) )
27	20, 21, 26	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> A. y e. ~P w ( F ` y ) C_ ( F ` w ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
29	28	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( ( F ` y ) C_ ( F ` w ) <-> ( F ` X ) C_ ( F ` w ) ) )
30	29	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ~P w -> ( A. y e. ~P w ( F ` y ) C_ ( F ` w ) -> ( F ` X ) C_ ( F ` w ) ) )
31	19, 27, 30	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> ( F ` X ) C_ ( F ` w ) )
32		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> ( F ` w ) C_ w )
33	31, 32	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ ( w e. ~P A /\ ( F ` w ) C_ w ) ) -> ( F ` X ) C_ w )
34	33	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) /\ w e. ~P A ) -> ( ( F ` w ) C_ w -> ( F ` X ) C_ w ) )
35	34	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> A. w e. ~P A ( ( F ` w ) C_ w -> ( F ` X ) C_ w ) )
36		ssintrab 4500	. . . . 5 |- ( ( F ` X ) C_ |^| { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w } <-> A. w e. ~P A ( ( F ` w ) C_ w -> ( F ` X ) C_ w ) )
37	35, 36	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) C_ |^| { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w } )
38	13	cbvrabv 3199	. . . . . 6 |- { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z } = { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w }
39	38	inteqi 4479	. . . . 5 |- |^| { z e. ~P A | ( F ` z ) C_ z } = |^| { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w }
40	1, 39	eqtri 2644	. . . 4 |- X = |^| { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w }
41	37, 40	syl6sseqr 3652	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) C_ X )
42	3, 10	sselpwd 4807	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> X e. ~P A )
43		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) )
44		pweq 4161	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ~P x = ~P A )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
46	45	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> ( F ` y ) C_ ( F ` A ) ) )
47	44, 46	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> ( A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> A. y e. ~P A ( F ` y ) C_ ( F ` A ) ) )
48	47	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ~P A -> ( A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) -> A. y e. ~P A ( F ` y ) C_ ( F ` A ) ) )
49	3, 43, 48	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> A. y e. ~P A ( F ` y ) C_ ( F ` A ) )
50	28	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( ( F ` y ) C_ ( F ` A ) <-> ( F ` X ) C_ ( F ` A ) ) )
51	50	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( X e. ~P A -> ( A. y e. ~P A ( F ` y ) C_ ( F ` A ) -> ( F ` X ) C_ ( F ` A ) ) )
52	42, 49, 51	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) C_ ( F ` A ) )
53	52, 4	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) C_ A )
54		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` X ) e. _V
55	54	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( ( F ` X ) e. ~P A <-> ( F ` X ) C_ A )
56	53, 55	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) e. ~P A )
57	54	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( ( F ` X ) e. ~P X <-> ( F ` X ) C_ X )
58	41, 57	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) e. ~P X )
59		pweq 4161	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ~P x = ~P X )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
61	60	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> ( F ` y ) C_ ( F ` X ) ) )
62	59, 61	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> A. y e. ~P X ( F ` y ) C_ ( F ` X ) ) )
63	62	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( X e. ~P A -> ( A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) -> A. y e. ~P X ( F ` y ) C_ ( F ` X ) ) )
64	42, 43, 63	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> A. y e. ~P X ( F ` y ) C_ ( F ` X ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` X ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( F ` X ) ) )
66	65	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` X ) -> ( ( F ` y ) C_ ( F ` X ) <-> ( F ` ( F ` X ) ) C_ ( F ` X ) ) )
67	66	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( F ` X ) e. ~P X -> ( A. y e. ~P X ( F ` y ) C_ ( F ` X ) -> ( F ` ( F ` X ) ) C_ ( F ` X ) ) )
68	58, 64, 67	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` ( F ` X ) ) C_ ( F ` X ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` X ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( F ` X ) ) )
70		id 22	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` X ) -> w = ( F ` X ) )
71	69, 70	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` X ) -> ( ( F ` w ) C_ w <-> ( F ` ( F ` X ) ) C_ ( F ` X ) ) )
72	71	intminss 4503	. . . . 5 |- ( ( ( F ` X ) e. ~P A /\ ( F ` ( F ` X ) ) C_ ( F ` X ) ) -> |^| { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w } C_ ( F ` X ) )
73	56, 68, 72	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> |^| { w e. ~P A | ( F ` w ) C_ w } C_ ( F ` X ) )
74	40, 73	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> X C_ ( F ` X ) )
75	41, 74	eqssd 3620	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( F ` X ) = X )
76	10, 75	jca 554	1 |- ( ( A e. V /\ ( F ` A ) C_ A /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P x ( F ` y ) C_ ( F ` x ) ) -> ( X C_ A /\ ( F ` X ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)