Theorem laut11 35372

Description: One-to-one property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
laut1o.b	|- B = ( Base ` K )
laut1o.i	|- I = ( LAut ` K )

Assertion

Ref	Expression
laut11	|- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem laut11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laut1o.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		laut1o.i	. . . 4 |- I = ( LAut ` K )
3	1, 2	laut1o 35371	. . 3 |- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : B -1-1-onto-> B )
4		f1of1 6136	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> F : B -1-1-> B )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : B -1-1-> B )
6		f1fveq 6519	. 2 |- ( ( F : B -1-1-> B /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) <-> X = Y ) )
7	5, 6	sylan 488	1 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LAutclaut 35271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-laut 35275

This theorem is referenced by:  lautlt  35377  ltrn11  35412