Theorem mapdfval 36916

Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdval.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdval.s	|- S = ( LSubSp ` U )
mapdval.f	|- F = (LFnl ` U )
mapdval.l	|- L = (LKer ` U )
mapdval.o	|- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
mapdval.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
mapdfval	|- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> M = ( s e. S |-> { f e. F | ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) } ) )

Distinct variable groups:   f, s, K   f, F   S, s   f, W, s

Allowed substitution hints:   S( f)   U( f, s)   F( s)   H( f, s)   L( f, s)   M( f, s)   O( f, s)   X( f, s)

Proof of Theorem mapdfval

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval.m	. . 3 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
2		mapdval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3	2	mapdffval 36915	. . . 4 |- ( K e. X -> (mapd ` K ) = ( w e. H |-> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) ) )
4	3	fveq1d 6193	. . 3 |- ( K e. X -> ( (mapd ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) ) ` W ) )
5	1, 4	syl5eq 2668	. 2 |- ( K e. X -> M = ( ( w e. H |-> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) ) ` W ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
7		mapdval.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8	6, 7	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = U )
9	8	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( w = W -> ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = ( LSubSp ` U ) )
10		mapdval.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` U )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( w = W -> ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = S )
12	8	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LFnl ` U ) )
13		mapdval.f	. . . . . 6 |- F = (LFnl ` U )
14	12, 13	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = F )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` W ) )
16		mapdval.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = O )
18	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LKer ` U ) )
19		mapdval.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = (LKer ` U )
20	18, 19	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = L )
21	20	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) = ( L ` f ) )
22	17, 21	fveq12d 6197	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) = ( O ` ( L ` f ) ) )
23	17, 22	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) )
24	23, 21	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) <-> ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) ) )
25	22	sseq1d 3632	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s <-> ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) )
26	24, 25	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( w = W -> ( ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) <-> ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) ) )
27	14, 26	rabeqbidv 3195	. . . 4 |- ( w = W -> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } = { f e. F | ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) } )
28	11, 27	mpteq12dv 4733	. . 3 |- ( w = W -> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) = ( s e. S |-> { f e. F | ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) } ) )
29		eqid 2622	. . 3 |- ( w e. H |-> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) ) = ( w e. H |-> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) )
30		fvex 6201	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) e. _V
31	10, 30	eqeltri 2697	. . . 4 |- S e. _V
32	31	mptex 6486	. . 3 |- ( s e. S |-> { f e. F | ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) } ) e. _V
33	28, 29, 32	fvmpt 6282	. 2 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> ( s e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) C_ s ) } ) ) ` W ) = ( s e. S |-> { f e. F | ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) } ) )
34	5, 33	sylan9eq 2676	1 |- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> M = ( s e. S |-> { f e. F | ( ( O ` ( O ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( O ` ( L ` f ) ) C_ s ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   LSubSpclss 18932  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-mapd 36914

This theorem is referenced by:  mapdval  36917  mapd1o  36937