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Theorem mptbi12f 33975
Description: Equality deduction for maps-to notations. (Contributed by Giovanni Mascellani, 10-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mptbi12f.1 |- F/_ x A
mptbi12f.2 |- F/_ x B
Assertion
Ref Expression
mptbi12f |- ( ( A = B /\ A. x e. A D = E ) -> ( x e. A |-> D ) = ( x e. B |-> E ) )
Proof of Theorem mptbi12f
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptbi12f.1 . . . . . . . 8 |- F/_ x A
2 mptbi12f.2 . . . . . . . 8 |- F/_ x B
31, 2nfeq 2776 . . . . . . 7 |- F/ x A = B
4 eleq2 2690 . . . . . . 7 |- ( A = B -> ( x e. A <-> x e. B ) )
53, 4alrimi 2082 . . . . . 6 |- ( A = B -> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
6 ax-5 1839 . . . . . . 7 |- ( ( x e. A <-> x e. B ) -> A. y ( x e. A <-> x e. B ) )
76alimi 1739 . . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) -> A. x A. y ( x e. A <-> x e. B ) )
85, 7syl 17 . . . . 5 |- ( A = B -> A. x A. y ( x e. A <-> x e. B ) )
9 eqeq2 2633 . . . . . . . . 9 |- ( D = E -> ( y = D <-> y = E ) )
109alrimiv 1855 . . . . . . . 8 |- ( D = E -> A. y ( y = D <-> y = E ) )
1110ralimi 2952 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A D = E -> A. x e. A A. y ( y = D <-> y = E ) )
12 df-ral 2917 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y ( y = D <-> y = E ) <-> A. x ( x e. A -> A. y ( y = D <-> y = E ) ) )
1311, 12sylib 208 . . . . . 6 |- ( A. x e. A D = E -> A. x ( x e. A -> A. y ( y = D <-> y = E ) ) )
14 19.21v 1868 . . . . . . 7 |- ( A. y ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y = D <-> y = E ) ) )
1514albii 1747 . . . . . 6 |- ( A. x A. y ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. y ( y = D <-> y = E ) ) )
1613, 15sylibr 224 . . . . 5 |- ( A. x e. A D = E -> A. x A. y ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) )
17 id 22 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
1817alanimi 1744 . . . . . 6 |- ( ( A. y ( x e. A <-> x e. B ) /\ A. y ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> A. y ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
1918alanimi 1744 . . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( x e. A <-> x e. B ) /\ A. x A. y ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> A. x A. y ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
208, 16, 19syl2an 494 . . . 4 |- ( ( A = B /\ A. x e. A D = E ) -> A. x A. y ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
21 tsan2 33949 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( x e. A \/ -. ( x e. A /\ y = D ) ) )
2221ord 392 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ y = D ) ) )
23 tsbi2 33941 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) \/ ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
2423ord 392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
2524a1dd 50 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) -> ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) ) )
26 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) -> -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) ) )
2725, 26contrd 33899 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) )
2827a1d 25 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. x e. A -> ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
2922, 28cnf1dd 33892 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. x e. A -> ( x e. B /\ y = E ) ) )
30 simplim 163 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( x e. A \/ -. x e. B ) -> ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) )
32 tsbi3 33942 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. B ) \/ -. ( x e. A <-> x e. B ) ) )
3332ord 392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( x e. A \/ -. x e. B ) -> -. ( x e. A <-> x e. B ) ) )
34 tsan2 33949 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( x e. A <-> x e. B ) \/ -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( x e. A \/ -. x e. B ) -> ( ( x e. A <-> x e. B ) \/ -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) ) )
3633, 35cnf1dd 33892 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( x e. A \/ -. x e. B ) -> -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) )
3731, 36contrd 33899 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( x e. A \/ -. x e. B ) )
3837ord 392 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. x e. A -> -. x e. B ) )
39 tsan2 33949 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( x e. B \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. x e. A -> ( x e. B \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
4138, 40cnf1dd 33892 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. x e. A -> -. ( x e. B /\ y = E ) ) )
4229, 41contrd 33899 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> x e. A )
4342a1d 25 . . . . . . . 8 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> x e. A ) )
4430a1d 25 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) )
45 tsan3 33950 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) \/ -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) )
4645a1d 25 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) \/ -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) ) )
4744, 46cnfn2dd 33895 . . . . . . . 8 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
4843, 47mpdd 43 . . . . . . 7 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( y = D <-> y = E ) ) )
49 notnotr 125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( x e. B /\ y = E ) )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( x e. B /\ y = E ) ) )
5139a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( x e. B \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
5250, 51cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> x e. B ) )
5337a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( x e. A \/ -. x e. B ) ) )
5452, 53cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> x e. A ) )
55 tsan3 33950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( y = E \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) )
5655a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( y = E \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
5750, 56cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> y = E ) )
5830a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) )
5945a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) \/ -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) ) )
6058, 59cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) )
6154, 60mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( y = D <-> y = E ) ) )
62 tsbi3 33942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( y = D \/ -. y = E ) \/ -. ( y = D <-> y = E ) ) )
6362a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( ( y = D \/ -. y = E ) \/ -. ( y = D <-> y = E ) ) ) )
6461, 63cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( y = D \/ -. y = E ) ) )
6557, 64cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> y = D ) )
6654, 65jcad 555 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( x e. A /\ y = D ) ) )
67 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) ) )
68 tsim3 33939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) \/ ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) ) )
6968a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( -. ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) \/ ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) ) ) )
7067, 69cnf2dd 33893 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> -. ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
71 tsbi1 33940 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( -. ( x e. A /\ y = D ) \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) \/ ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
7271a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( ( -. ( x e. A /\ y = D ) \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) \/ ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) ) )
7370, 72cnf2dd 33893 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> ( -. ( x e. A /\ y = D ) \/ -. ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
7450, 73cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. -. ( x e. B /\ y = E ) -> -. ( x e. A /\ y = D ) ) )
7566, 74contrd 33899 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> -. ( x e. B /\ y = E ) )
7675a1d 25 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> -. ( x e. B /\ y = E ) ) )
7727a1d 25 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( x e. A /\ y = D ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
7876, 77cnf2dd 33893 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( x e. A /\ y = D ) ) )
79 tsan3 33950 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( y = D \/ -. ( x e. A /\ y = D ) ) )
8079a1d 25 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( y = D \/ -. ( x e. A /\ y = D ) ) ) )
8178, 80cnfn2dd 33895 . . . . . . . 8 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> y = D ) )
8234a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( x e. A <-> x e. B ) \/ -. ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) ) ) )
8344, 82cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( x e. A <-> x e. B ) ) )
84 tsbi4 33943 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( -. x e. A \/ x e. B ) \/ -. ( x e. A <-> x e. B ) ) )
8584a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( -. x e. A \/ x e. B ) \/ -. ( x e. A <-> x e. B ) ) ) )
8683, 85cnfn2dd 33895 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( -. x e. A \/ x e. B ) ) )
8743, 86cnfn1dd 33894 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> x e. B ) )
88 tsan1 33948 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( -. x e. B \/ -. y = E ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) )
8988a1d 25 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( -. x e. B \/ -. y = E ) \/ ( x e. B /\ y = E ) ) ) )
9076, 89cnf2dd 33893 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( -. x e. B \/ -. y = E ) ) )
9187, 90cnfn1dd 33894 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> -. y = E ) )
92 tsbi4 33943 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( ( -. y = D \/ y = E ) \/ -. ( y = D <-> y = E ) ) )
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( -. y = D \/ y = E ) \/ -. ( y = D <-> y = E ) ) ) )
9493or32dd 33896 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( ( -. y = D \/ -. ( y = D <-> y = E ) ) \/ y = E ) ) )
9591, 94cnf2dd 33893 . . . . . . . 8 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> ( -. y = D \/ -. ( y = D <-> y = E ) ) ) )
9681, 95cnfn1dd 33894 . . . . . . 7 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> ( -. F. -> -. ( y = D <-> y = E ) ) )
9748, 96contrd 33899 . . . . . 6 |- ( -. ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) ) -> F. )
9897efald2 33877 . . . . 5 |- ( ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) )
99982alimi 1740 . . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x e. A <-> x e. B ) /\ ( x e. A -> ( y = D <-> y = E ) ) ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) )
10020, 99syl 17 . . 3 |- ( ( A = B /\ A. x e. A D = E ) -> A. x A. y ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) )
101 eqopab2b 5005 . . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = D ) } = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = E ) } <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y = D ) <-> ( x e. B /\ y = E ) ) )
102100, 101sylibr 224 . 2 |- ( ( A = B /\ A. x e. A D = E ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = D ) } = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = E ) } )
103 df-mpt 4730 . 2 |- ( x e. A |-> D ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = D ) }
104 df-mpt 4730 . 2 |- ( x e. B |-> E ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = E ) }
105102, 103, 1043eqtr4g 2681 1 |- ( ( A = B /\ A. x e. A D = E ) -> ( x e. A |-> D ) = ( x e. B |-> E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F. wfal 1488   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   {copab 4712   |-> cmpt 4729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-mpt 4730
This theorem is referenced by: (None)
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