Theorem mptexgf 6485

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexgf.a	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
mptexgf	|- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Proof of Theorem mptexgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5926	. 2 |- Fun ( x e. A |-> B )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	dmmpt 5630	. . . 4 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
4		a1tru 1500	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> T. )
5	4	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. x e. A ( B e. _V -> T. )
6		ss2rab 3678	. . . . . 6 |- ( { x e. A | B e. _V } C_ { x e. A | T. } <-> A. x e. A ( B e. _V -> T. ) )
7	5, 6	mpbir 221	. . . . 5 |- { x e. A | B e. _V } C_ { x e. A | T. }
8		mptexgf.a	. . . . . 6 |- F/_ x A
9	8	rabtru 3361	. . . . 5 |- { x e. A | T. } = A
10	7, 9	sseqtri 3637	. . . 4 |- { x e. A | B e. _V } C_ A
11	3, 10	eqsstri 3635	. . 3 |- dom ( x e. A |-> B ) C_ A
12		ssexg 4804	. . 3 |- ( ( dom ( x e. A |-> B ) C_ A /\ A e. V ) -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
13	11, 12	mpan 706	. 2 |- ( A e. V -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
14		funex 6482	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ dom ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
15	1, 13, 14	sylancr 695	1 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   T. wtru 1484   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2  27230  esumrnmpt2  30130  mptexf  39444