Theorem mptexg 6484

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	|- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5926	. 2 |- Fun ( x e. A |-> B )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	dmmptss 5631	. . 3 |- dom ( x e. A |-> B ) C_ A
4		ssexg 4804	. . 3 |- ( ( dom ( x e. A |-> B ) C_ A /\ A e. V ) -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
5	3, 4	mpan 706	. 2 |- ( A e. V -> dom ( x e. A |-> B ) e. _V )
6		funex 6482	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ dom ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
7	1, 5, 6	sylancr 695	1 |- ( A e. V -> ( x e. A |-> B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  mptex  6486  mptexd  6487  ovmpt3rab1  6891  offval  6904  abrexexg  7140  xpexgALT  7161  offval3  7162  mptsuppdifd  7317  suppssov1  7327  suppssfv  7331  mpt2curryvald  7396  iunon  7436  onoviun  7440  mptelixpg  7945  fsuppmptif  8305  sniffsupp  8315  cantnfrescl  8573  cantnfp1lem1  8575  cantnflem1  8586  infxpenc2lem2  8843  coftr  9095  axcc3  9260  negfi  10971  seqof2  12859  reps  13517  wrd2f1tovbij  13703  ramcl  15733  restval  16087  prdsplusgval  16133  prdsmulrval  16135  prdsvscaval  16139  resf1st  16554  resf2nd  16555  funcres  16556  galactghm  17823  symgfixfolem1  17858  pmtrval  17871  pmtrrn  17877  pmtrfrn  17878  sylow1lem4  18016  sylow3lem2  18043  sylow3lem3  18044  gsum2dlem2  18370  gsum2d  18371  dprdfinv  18418  dprdfadd  18419  dmdprdsplitlem  18436  dpjfval  18454  dpjidcl  18457  mptscmfsupp0  18928  psrass1lem  19377  psrridm  19404  psrcom  19409  mvrfval  19420  mplcoe5  19468  mplbas2  19470  opsrval  19474  evlslem6  19513  psropprmul  19608  evls1sca  19688  frlmgsum  20111  frlmphllem  20119  uvcfval  20123  uvcval  20124  uvcff  20130  uvcresum  20132  matgsum  20243  mvmulval  20349  mavmuldm  20356  mavmul0g  20359  marepvval0  20372  mat2pmatfval  20528  cpm2mfval  20554  chpmatfval  20635  ntrfval  20828  clsfval  20829  neifval  20903  lpfval  20942  ptcnplem  21424  upxp  21426  xkocnv  21617  fmfnfmlem3  21760  fmfnfmlem4  21761  ptcmplem3  21858  ustuqtoplem  22043  ustuqtop0  22044  utopsnneiplem  22051  prdsdsf  22172  ressprdsds  22176  prdsxmslem2  22334  rrxmval  23188  tdeglem4  23820  tayl0  24116  itgulm2  24163  pserulm  24176  efabl  24296  efsubm  24297  lmif  25677  islmib  25679  nbusgrf1o1  26272  cusgrfilem3  26353  vtxdgfval  26363  wlkiswwlks2  26761  wwlksnextbij  26797  clwlkclwwlklem1  26900  grpoinvfval  27376  acunirnmpt  29459  acunirnmpt2  29460  acunirnmpt2f  29461  aciunf1lem  29462  indv  30074  indval  30075  ofcfval  30160  ofcfval3  30164  omsval  30355  carsgclctunlem2  30381  pmeasadd  30387  sitgclg  30404  bnj1366  30900  ptpconn  31215  fwddifval  32269  tailfval  32367  curfv  33389  matunitlindflem1  33405  matunitlindflem2  33406  upixp  33524  pw2f1ocnv  37604  kelac1  37633  rfovd  38295  rfovfvd  38296  fsovrfovd  38303  fsovfvd  38304  dssmapfvd  38311  dssmapfv2d  38312  dssmapf1od  38315  fmulcl  39813  fmuldfeqlem1  39814  dvnmul  40158  dvnprodlem2  40162  stoweidlem31  40248  stoweidlem42  40259  stoweidlem48  40265  etransclem1  40452  etransclem4  40455  etransclem13  40464  etransclem17  40468  0ome  40743  hoicvr  40762  hsphoif  40790  hsphoival  40793  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem3  40811  ovnhoilem1  40815  ovnhoilem2  40816  ovnlecvr2  40824  ovncvr2  40825  hoidifhspval2  40829  hspmbllem2  40841  sprbisymrel  41749  uspgrbisymrelALT  41763  funcrngcsetc  41998  funcringcsetc  42035  scmsuppss  42153  rmfsupp  42155  scmfsupp  42159  mptcfsupp  42161  lincresunit2  42267  offval0  42299