Theorem esumrnmpt2 30130

Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumrnmpt2.1	|- ( y = B -> C = D )
esumrnmpt2.2	|- ( ph -> A e. V )
esumrnmpt2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
esumrnmpt2.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. W )
esumrnmpt2.5	|- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> D = 0 )
esumrnmpt2.6	|- ( ph -> Disj k e. A B )

Assertion

Ref	Expression
esumrnmpt2	|- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) C = Σ* k e. A D )

Distinct variable groups:   A, k, y   y, B   C, k   y, D   k, W   ph, k, y

Allowed substitution hints:   B( k)   C( y)   D( k)   V( y, k)   W( y)

Proof of Theorem esumrnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ k { k e. A | -. B = (/) }
2		esumrnmpt2.1	. . . . 5 |- ( y = B -> C = D )
3		esumrnmpt2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
4		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { k e. A | -. B = (/) } C_ A
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | -. B = (/) } C_ A )
6	3, 5	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. A | -. B = (/) } e. _V )
7	5	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> k e. A )
8		esumrnmpt2.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
9	7, 8	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
10		esumrnmpt2.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. W )
11	7, 10	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> B e. W )
12		rabid 3116	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { k e. A | -. B = (/) } <-> ( k e. A /\ -. B = (/) ) )
13	12	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. A | -. B = (/) } -> -. B = (/) )
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> -. B = (/) )
15		elsng 4191	. . . . . . . 8 |- ( B e. W -> ( B e. { (/) } <-> B = (/) ) )
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> ( B e. { (/) } <-> B = (/) ) )
17	14, 16	mtbird 315	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> -. B e. { (/) } )
18	11, 17	eldifd 3585	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> B e. ( W \ { (/) } ) )
19		esumrnmpt2.6	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj k e. A B )
20		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k A
21	1, 20	disjss1f 29386	. . . . . 6 |- ( { k e. A | -. B = (/) } C_ A -> (Disj k e. A B -> Disj k e. { k e. A | -. B = (/) } B ) )
22	5, 19, 21	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> Disj k e. { k e. A | -. B = (/) } B )
23	1, 2, 6, 9, 18, 22	esumrnmpt 30114	. . . 4 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C = Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D )
24		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ph /\ E. k e. A B = (/) )
25		snex 4908	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> { (/) } e. _V )
27		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
28	27	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y e. { (/) } ) -> y = (/) )
30		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ph
31		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k E. k e. A B = (/)
32	30, 31	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ph /\ E. k e. A B = (/) )
33		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k y = (/)
34	32, 33	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) )
35		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k C = 0
36		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> y = (/) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> B = (/) )
38	36, 37	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> y = B )
39	38, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> C = D )
40		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> ph )
41		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> k e. A )
42		esumrnmpt2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> D = 0 )
43	40, 41, 37, 42	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> D = 0 )
44	39, 43	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> C = 0 )
45		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) -> E. k e. A B = (/) )
46	34, 35, 44, 45	r19.29af2 3075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y = (/) ) -> C = 0 )
47	29, 46	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y e. { (/) } ) -> C = 0 )
48		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
49	47, 48	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) /\ y e. { (/) } ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k y
51		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B )
52	51	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B )
53	50, 52	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B )
54	30, 53	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> y = B )
56		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. { k e. A | B = (/) } <-> ( k e. A /\ B = (/) ) )
57	56	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. { k e. A | B = (/) } -> B = (/) )
58	57	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> B = (/) )
59	55, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> y = (/) )
60	59, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> y e. { (/) } )
61		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) = ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B )
63	62	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) <-> E. k e. { k e. A | B = (/) } y = B ) )
64	61, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) <-> E. k e. { k e. A | B = (/) } y = B )
65	64	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) -> E. k e. { k e. A | B = (/) } y = B )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) -> E. k e. { k e. A | B = (/) } y = B )
67	54, 60, 66	r19.29af 3076	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) -> y e. { (/) } )
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) -> y e. { (/) } ) )
69	68	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C_ { (/) } )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C_ { (/) } )
71	24, 26, 49, 70	esummono 30116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ Σ* y e. { (/) } C )
72		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> (/) e. _V )
74	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
75	46, 73, 74	esumsn 30127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> Σ* y e. { (/) } C = 0 )
76	71, 75	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. k e. A B = (/) ) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 )
77		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. E. k e. A B = (/) ) -> -. E. k e. A B = (/) )
78		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y -. E. k e. A B = (/)
79	31	nfn 1784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k -. E. k e. A B = (/)
80		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k { k e. A | B = (/) }
81		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k (/)
82		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { k e. A | B = (/) } =/= (/) <-> E. k e. A B = (/) )
83	82	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { k e. A | B = (/) } =/= (/) -> E. k e. A B = (/) )
84	83	necon1bi 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> { k e. A | B = (/) } = (/) )
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = B
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> B = B )
87	79, 80, 81, 84, 86	mpteq12df 4735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) = ( k e. (/) |-> B ) )
88		mpt0 6021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. (/) |-> B ) = (/)
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) = (/) )
90	89	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) = ran (/) )
91		rn0 5377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran (/) = (/)
92	90, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) = (/) )
93	78, 92	esumeq1d 30097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C = Σ* y e. (/) C )
94		esumnul 30110	. . . . . . . . . . . 12 |- Σ* y e. (/) C = 0
95	93, 94	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C = 0 )
96		0le0 11110	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 0
97	95, 96	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. k e. A B = (/) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 )
98	77, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. E. k e. A B = (/) ) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 )
99	76, 98	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 )
100		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { k e. A | B = (/) } C_ A
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { k e. A | B = (/) } C_ A )
102	3, 101	ssexd 4805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { k e. A | B = (/) } e. _V )
103	80	mptexgf 6485	. . . . . . . . . . 11 |- ( { k e. A | B = (/) } e. _V -> ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) e. _V )
104		rnexg 7098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) e. _V -> ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) e. _V )
105	102, 103, 104	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) e. _V )
106	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> C = D )
107		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> ph )
108	101	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) -> k e. A )
109	108	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) -> k e. A )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> k e. A )
111	107, 110, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
112	106, 111	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) /\ y = B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
113	54, 112, 66	r19.29af 3076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
114	113	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
115		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B )
116	115	esumcl 30092	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) e. _V /\ A. y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
117	105, 114, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. ( 0 [,] +oo ) )
118		elxrge0 12281	. . . . . . . . . 10 |- (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. ( 0 [,] +oo ) <-> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. RR* /\ 0 <_ Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C ) )
119	118	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C )
120	117, 119	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C )
121	99, 120	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 /\ 0 <_ Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C ) )
122		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
123	122, 117	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. RR* )
124	122, 48	sselii 3600	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
125	124	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
126		xrletri3 11985	. . . . . . . 8 |- ( (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C = 0 <-> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 /\ 0 <_ Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C ) ) )
127	123, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C = 0 <-> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C <_ 0 /\ 0 <_ Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C ) ) )
128	121, 127	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C = 0 )
129	128	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) = ( 0 +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) )
130	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. { k e. A | -. B = (/) } D e. ( 0 [,] +oo ) )
131	1	esumcl 30092	. . . . . . . . 9 |- ( ( { k e. A | -. B = (/) } e. _V /\ A. k e. { k e. A | -. B = (/) } D e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D e. ( 0 [,] +oo ) )
132	6, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D e. ( 0 [,] +oo ) )
133	122, 132	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D e. RR* )
134	23, 133	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C e. RR* )
135		xaddid2 12073	. . . . . 6 |- (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C e. RR* -> ( 0 +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) = Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C )
136	134, 135	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) = Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C )
137	129, 136	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) = Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C )
138		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) -> ph )
139	57	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) -> B = (/) )
140	138, 108, 139, 42	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) -> D = 0 )
141	140	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. { k e. A | B = (/) } D = 0 )
142	30, 141	esumeq2d 30099	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = (/) } D = Σ* k e. { k e. A | B = (/) } 0 )
143	80	esum0 30111	. . . . . . . 8 |- ( { k e. A | B = (/) } e. _V -> Σ* k e. { k e. A | B = (/) } 0 = 0 )
144	102, 143	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = (/) } 0 = 0 )
145	142, 144	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = (/) } D = 0 )
146	145	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ* k e. { k e. A | B = (/) } D +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) = ( 0 +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) )
147		xaddid2 12073	. . . . . 6 |- (Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D e. RR* -> ( 0 +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) = Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D )
148	133, 147	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) = Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D )
149	146, 148	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> (Σ* k e. { k e. A | B = (/) } D +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) = Σ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D )
150	23, 137, 149	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) = (Σ* k e. { k e. A | B = (/) } D +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) )
151		nfv 1843	. . . 4 |- F/ y ph
152		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B )
153	1	mptexgf 6485	. . . . 5 |- ( { k e. A | -. B = (/) } e. _V -> ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) e. _V )
154		rnexg 7098	. . . . 5 |- ( ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) e. _V -> ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) e. _V )
155	6, 153, 154	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) e. _V )
156		ssrin 3838	. . . . . . 7 |- ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C_ { (/) } -> ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C_ ( { (/) } i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) )
157	69, 156	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C_ ( { (/) } i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) )
158		incom 3805	. . . . . . 7 |- ( ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) i^i { (/) } ) = ( { (/) } i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
159	13	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. { k e. A | -. B = (/) } -> B =/= (/) )
160	159	necomd 2849	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { k e. A | -. B = (/) } -> (/) =/= B )
161	160	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { k e. A | -. B = (/) } -> -. (/) = B )
162	161	nrex 3000	. . . . . . . . 9 |- -. E. k e. { k e. A | -. B = (/) } (/) = B
163		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) = ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B )
164	163	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) <-> E. k e. { k e. A | -. B = (/) } (/) = B ) )
165	72, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) <-> E. k e. { k e. A | -. B = (/) } (/) = B )
166	162, 165	mtbir 313	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B )
167		disjsn 4246	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
168	166, 167	mpbir 221	. . . . . . 7 |- ( ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) i^i { (/) } ) = (/)
169	158, 168	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( { (/) } i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) = (/)
170	157, 169	syl6sseq 3651	. . . . 5 |- ( ph -> ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C_ (/) )
171		ss0 3974	. . . . 5 |- ( ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C_ (/) -> ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) = (/) )
172	170, 171	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) i^i ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) = (/) )
173		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B )
174	173	nfrn 5368	. . . . . . 7 |- F/_ k ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B )
175	50, 174	nfel 2777	. . . . . 6 |- F/ k y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B )
176	30, 175	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
177	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) /\ y = B ) -> C = D )
178		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) /\ y = B ) -> ph )
179	7	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) -> k e. A )
180	179	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) /\ y = B ) -> k e. A )
181	178, 180, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) /\ y = B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
182	177, 181	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) /\ k e. { k e. A | -. B = (/) } ) /\ y = B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
183	163	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) <-> E. k e. { k e. A | -. B = (/) } y = B ) )
184	61, 183	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) <-> E. k e. { k e. A | -. B = (/) } y = B )
185	184	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) -> E. k e. { k e. A | -. B = (/) } y = B )
186	185	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) -> E. k e. { k e. A | -. B = (/) } y = B )
187	176, 182, 186	r19.29af 3076	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
188	151, 115, 152, 105, 155, 172, 113, 187	esumsplit 30115	. . 3 |- ( ph -> Σ* y e. ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C = (Σ* y e. ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) C +eΣ* y e. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) C ) )
189		rabnc 3962	. . . . 5 |- ( { k e. A | B = (/) } i^i { k e. A | -. B = (/) } ) = (/)
190	189	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( { k e. A | B = (/) } i^i { k e. A | -. B = (/) } ) = (/) )
191	108, 8	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = (/) } ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
192	30, 80, 1, 102, 6, 190, 191, 9	esumsplit 30115	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } ) D = (Σ* k e. { k e. A | B = (/) } D +eΣ* k e. { k e. A | -. B = (/) } D ) )
193	150, 188, 192	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> Σ* y e. ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C = Σ* k e. ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } ) D )
194		rabxm 3961	. . . . . . . 8 |- A = ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } )
195	194, 85	mpteq12i 4742	. . . . . . 7 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } ) |-> B )
196		mptun 6025	. . . . . . 7 |- ( k e. ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } ) |-> B ) = ( ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
197	195, 196	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> B ) = ( ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
198	197	rneqi 5352	. . . . 5 |- ran ( k e. A |-> B ) = ran ( ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
199		rnun 5541	. . . . 5 |- ran ( ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) = ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
200	198, 199	eqtri 2644	. . . 4 |- ran ( k e. A |-> B ) = ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) )
201	200	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ran ( k e. A |-> B ) = ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) )
202	151, 201	esumeq1d 30097	. 2 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) C = Σ* y e. ( ran ( k e. { k e. A | B = (/) } |-> B ) u. ran ( k e. { k e. A | -. B = (/) } |-> B ) ) C )
203	194	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A = ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } ) )
204	30, 203	esumeq1d 30097	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A D = Σ* k e. ( { k e. A | B = (/) } u. { k e. A | -. B = (/) } ) D )
205	193, 202, 204	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) C = Σ* k e. A D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  carsggect  30380  carsgclctunlem2  30381  pmeasadd  30387