Theorem n0snor2el 4364

Description: A nonempty set is either a singleton or contains at least two different elements. (Contributed by AV, 20-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
n0snor2el	|- ( A =/= (/) -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem n0snor2el

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issn 4363	. . . 4 |- ( E. w e. A A. y e. A w = y -> E. z A = { z } )
2	1	olcd 408	. . 3 |- ( E. w e. A A. y e. A w = y -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) )
3	2	a1d 25	. 2 |- ( E. w e. A A. y e. A w = y -> ( A =/= (/) -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) ) )
4		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( w =/= y <-> -. w = y )
5	4	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. y e. A w =/= y <-> E. y e. A -. w = y )
6		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. y e. A -. w = y <-> -. A. y e. A w = y )
7	5, 6	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. y e. A w =/= y <-> -. A. y e. A w = y )
8	7	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. w e. A E. y e. A w =/= y <-> A. w e. A -. A. y e. A w = y )
9		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. w e. A -. A. y e. A w = y <-> -. E. w e. A A. y e. A w = y )
10	8, 9	bitri 264	. . 3 |- ( A. w e. A E. y e. A w =/= y <-> -. E. w e. A A. y e. A w = y )
11		neeq1 2856	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w =/= y <-> x =/= y ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( E. y e. A w =/= y <-> E. y e. A x =/= y ) )
13	12	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. w e. A E. y e. A w =/= y /\ x e. A ) -> E. y e. A x =/= y )
14	13	reximdva0 3933	. . . . 5 |- ( ( A. w e. A E. y e. A w =/= y /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A E. y e. A x =/= y )
15	14	orcd 407	. . . 4 |- ( ( A. w e. A E. y e. A w =/= y /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) )
16	15	ex 450	. . 3 |- ( A. w e. A E. y e. A w =/= y -> ( A =/= (/) -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) ) )
17	10, 16	sylbir 225	. 2 |- ( -. E. w e. A A. y e. A w = y -> ( A =/= (/) -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) ) )
18	3, 17	pm2.61i 176	1 |- ( A =/= (/) -> ( E. x e. A E. y e. A x =/= y \/ E. z A = { z } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178

This theorem is referenced by:  iunopeqop  4981