Theorem ssunpr 4365

Description: Possible values for a set sandwiched between another set and it plus a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssunpr	|- ( ( B C_ A /\ A C_ ( B u. { C , D } ) ) <-> ( ( A = B \/ A = ( B u. { C } ) ) \/ ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( B u. { C , D } ) ) ) )

Proof of Theorem ssunpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4180	. . . . . 6 |- { C , D } = ( { C } u. { D } )
2	1	uneq2i 3764	. . . . 5 |- ( B u. { C , D } ) = ( B u. ( { C } u. { D } ) )
3		unass 3770	. . . . 5 |- ( ( B u. { C } ) u. { D } ) = ( B u. ( { C } u. { D } ) )
4	2, 3	eqtr4i 2647	. . . 4 |- ( B u. { C , D } ) = ( ( B u. { C } ) u. { D } )
5	4	sseq2i 3630	. . 3 |- ( A C_ ( B u. { C , D } ) <-> A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) )
6	5	anbi2i 730	. 2 |- ( ( B C_ A /\ A C_ ( B u. { C , D } ) ) <-> ( B C_ A /\ A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) ) )
7		ssunsn2 4359	. 2 |- ( ( B C_ A /\ A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A C_ ( B u. { C } ) ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) ) ) )
8		ssunsn 4360	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A C_ ( B u. { C } ) ) <-> ( A = B \/ A = ( B u. { C } ) ) )
9		un23 3772	. . . . . 6 |- ( ( B u. { C } ) u. { D } ) = ( ( B u. { D } ) u. { C } )
10	9	sseq2i 3630	. . . . 5 |- ( A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) <-> A C_ ( ( B u. { D } ) u. { C } ) )
11	10	anbi2i 730	. . . 4 |- ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) ) <-> ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( ( B u. { D } ) u. { C } ) ) )
12		ssunsn 4360	. . . 4 |- ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( ( B u. { D } ) u. { C } ) ) <-> ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( ( B u. { D } ) u. { C } ) ) )
13	4, 9	eqtr2i 2645	. . . . . 6 |- ( ( B u. { D } ) u. { C } ) = ( B u. { C , D } )
14	13	eqeq2i 2634	. . . . 5 |- ( A = ( ( B u. { D } ) u. { C } ) <-> A = ( B u. { C , D } ) )
15	14	orbi2i 541	. . . 4 |- ( ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( ( B u. { D } ) u. { C } ) ) <-> ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( B u. { C , D } ) ) )
16	11, 12, 15	3bitri 286	. . 3 |- ( ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) ) <-> ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( B u. { C , D } ) ) )
17	8, 16	orbi12i 543	. 2 |- ( ( ( B C_ A /\ A C_ ( B u. { C } ) ) \/ ( ( B u. { D } ) C_ A /\ A C_ ( ( B u. { C } ) u. { D } ) ) ) <-> ( ( A = B \/ A = ( B u. { C } ) ) \/ ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( B u. { C , D } ) ) ) )
18	6, 7, 17	3bitri 286	1 |- ( ( B C_ A /\ A C_ ( B u. { C , D } ) ) <-> ( ( A = B \/ A = ( B u. { C } ) ) \/ ( A = ( B u. { D } ) \/ A = ( B u. { C , D } ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  sspr  4366  sstp  4367