Theorem nfixp 7927

Description: Bound-variable hypothesis builder for indexed Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfixp.1	|- F/_ y A
nfixp.2	|- F/_ y B

Assertion

Ref	Expression
nfixp	|- F/_ y X_ x e. A B

Proof of Theorem nfixp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ixp 7909	. 2 |- X_ x e. A B = { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
2		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y z
3		nftru 1730	. . . . . . 7 |- F/ x T.
4		nfcvf 2788	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y x )
6		nfixp.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ y A
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y A )
8	5, 7	nfeld 2773	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y x e. A )
9	3, 8	nfabd2 2784	. . . . . 6 |- ( T. -> F/_ y { x | x e. A } )
10	9	trud 1493	. . . . 5 |- F/_ y { x | x e. A }
11	2, 10	nffn 5987	. . . 4 |- F/ y z Fn { x | x e. A }
12		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z ` x ) e. B <-> A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y z )
14	13, 5	nffvd 6200	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y ( z ` x ) )
15		nfixp.2	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y B
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/_ y B )
17	14, 16	nfeld 2773	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( z ` x ) e. B )
18	8, 17	nfimd 1823	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ -. A. y y = x ) -> F/ y ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
19	3, 18	nfald2 2331	. . . . . 6 |- ( T. -> F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B ) )
20	19	trud 1493	. . . . 5 |- F/ y A. x ( x e. A -> ( z ` x ) e. B )
21	12, 20	nfxfr 1779	. . . 4 |- F/ y A. x e. A ( z ` x ) e. B
22	11, 21	nfan 1828	. . 3 |- F/ y ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B )
23	22	nfab 2769	. 2 |- F/_ y { z | ( z Fn { x | x e. A } /\ A. x e. A ( z ` x ) e. B ) }
24	1, 23	nfcxfr 2762	1 |- F/_ y X_ x e. A B

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   T. wtru 1484   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  vonioo  40896