Theorem vonioo 40896

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of an open interval. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonioo.x	|- ( ph -> X e. Fin )
vonioo.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
vonioo.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
vonioo.i	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
vonioo.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
vonioo	|- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   B, a, b, k   k, L   X, a, b, k, x   ph, a, b, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   I( x, k, a, b)   L( x, a, b)

Proof of Theorem vonioo

Dummy variables j m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonioo.l	. . . . 5 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
2		vonioo.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : X --> RR )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : X --> RR )
4		feq2 6027	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( A : X --> RR <-> A : (/) --> RR ) )
5	4	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A : X --> RR <-> A : (/) --> RR ) )
6	3, 5	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : (/) --> RR )
7		vonioo.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : X --> RR )
9		feq2 6027	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( B : X --> RR <-> B : (/) --> RR ) )
10	9	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( B : X --> RR <-> B : (/) --> RR ) )
11	8, 10	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : (/) --> RR )
12	1, 6, 11	hoidmv0val 40797	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` (/) ) B ) = 0 )
13	12	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 = ( A ( L ` (/) ) B ) )
14		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> (voln ` X ) = (voln ` (/) ) )
15		vonioo.i	. . . . . . . 8 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
17		ixpeq1 7919	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = X_ k e. (/) ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
18	16, 17	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> I = X_ k e. (/) ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
19	14, 18	fveq12d 6197	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( (voln ` (/) ) ` X_ k e. (/) ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) ) )
20	19	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( (voln ` (/) ) ` X_ k e. (/) ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) ) )
21		0fin 8188	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> (/) e. Fin )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- dom (voln ` (/) ) = dom (voln ` (/) )
24		ressxr 10083	. . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> RR C_ RR* )
26	6, 25	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : (/) --> RR* )
27	11, 25	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : (/) --> RR* )
28	22, 23, 26, 27	ioovonmbl 40891	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X_ k e. (/) ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) e. dom (voln ` (/) ) )
29	28	von0val 40885	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln ` (/) ) ` X_ k e. (/) ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
30	20, 29	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = 0 )
31		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( L ` X ) = ( L ` (/) ) )
32	31	oveqd 6667	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( A ( L ` (/) ) B ) )
33	32	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( A ( L ` (/) ) B ) )
34	13, 30, 33	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
35		neqne 2802	. . . 4 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
36	35	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
37		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ X =/= (/) )
38		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ k A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k )
39	37, 38	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) )
40	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
41	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
42		volico 40200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
44	43	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
45		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
46	45	iftrued 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) /\ k e. X ) -> if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
47	46	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) /\ k e. X ) -> if ( ( A ` k ) < ( B ` k ) , ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
48	44, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
49	48	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) )
50	39, 49	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
51	50	prodeq2d 14652	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
52	51	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
53		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A ` k ) = ( A ` j ) )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
55	53, 54	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> ( A ` j ) < ( B ` j ) ) )
56	55	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) )
57	56	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) -> A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) )
58	57	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) )
59		vonioo.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. Fin )
60	59	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X e. Fin )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) ) -> X e. Fin )
62	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> A : X --> RR )
63	62	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) ) -> A : X --> RR )
64	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> B : X --> RR )
65	64	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) ) -> B : X --> RR )
66		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X =/= (/) )
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) ) -> X =/= (/) )
68	56, 45	sylanbr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
69	68	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( A ` j ) = ( A ` k ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) )
72	71	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) )
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( 1 / m ) = ( 1 / n ) )
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
76	75	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
77	73, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
78	77	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
79		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n X_ k e. X ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) )
80		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m X
81		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n )
82		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m k
83	81, 82	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k )
84		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m [,)
85		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( B ` k )
86	83, 84, 85	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) )
87	80, 86	nfixp 7927	. . . . . . . 8 |- F/_ m X_ k e. X ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` m ) = ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) )
89	88	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` m ) ` k ) = ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k ) )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
91	90	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> X_ k e. X ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
92	79, 87, 91	cbvmpt 4749	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( ( m e. NN |-> ( j e. X |-> ( ( A ` j ) + ( 1 / m ) ) ) ) ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
93	61, 63, 65, 67, 69, 15, 78, 92	vonioolem2 40895	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. j e. X ( A ` j ) < ( B ` j ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
94	58, 93	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
95	1, 60, 66, 62, 64	hoidmvn0val 40798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
96	95	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
97	52, 94, 96	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
98		rexnal 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. X -. ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) )
99	98	bicomi 214	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) <-> E. k e. X -. ( A ` k ) < ( B ` k ) )
100	99	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) -> E. k e. X -. ( A ` k ) < ( B ` k ) )
101	100	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> E. k e. X -. ( A ` k ) < ( B ` k ) )
102		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> -. ( A ` k ) < ( B ` k ) )
103	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
104	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
105	103, 104	lenltd 10183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( ( B ` k ) <_ ( A ` k ) <-> -. ( A ` k ) < ( B ` k ) ) )
106	102, 105	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( B ` k ) <_ ( A ` k ) )
107	106	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( -. ( A ` k ) < ( B ` k ) -> ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) )
108	107	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. k e. X -. ( A ` k ) < ( B ` k ) -> E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( E. k e. X -. ( A ` k ) < ( B ` k ) -> E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) )
110	101, 109	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) )
111	110	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) )
112		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k (voln ` X )
113		nfixp1 7928	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
114	15, 113	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ k I
115	112, 114	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( (voln ` X ) ` I )
116		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( A ( L ` X ) B )
117	115, 116	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ k ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B )
118	59	vonmea 40788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (voln ` X ) e. Meas )
119	118	mea0 40671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` (/) ) = 0 )
120	119	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` (/) ) = 0 )
121	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
122		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> k e. X )
123		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( B ` k ) <_ ( A ` k ) )
124	24, 40	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR* )
125	124	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( A ` k ) e. RR* )
126	24, 41	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
127	126	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( B ` k ) e. RR* )
128		ioo0 12200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ` k ) e. RR* /\ ( B ` k ) e. RR* ) -> ( ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) <-> ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) )
129	125, 127, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) <-> ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) )
130	123, 129	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) )
131		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. X /\ ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) ) -> E. k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) )
132	122, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> E. k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) )
133		ixp0 7941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) = (/) )
135	121, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> I = (/) )
136	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( (voln ` X ) ` (/) ) )
137		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. X -> X =/= (/) )
138	137	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> X =/= (/) )
139	138, 95	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
140	139	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
141		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( j e. X <-> k e. X ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( B ` j ) = ( B ` k ) )
143	142, 70	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( ( B ` j ) <_ ( A ` j ) <-> ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) )
144	141, 143	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) <-> ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) ) )
145	144	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 ) <-> ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 ) ) )
146		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
147	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> X e. Fin )
148		volicore 40795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
149	40, 41, 148	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
150	149	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
151	150	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
152		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> j e. X )
153	53, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) )
155	154	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) /\ k = j ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) )
156	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( A ` j ) e. RR )
157	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( B ` j ) e. RR )
158		volico 40200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` j ) e. RR /\ ( B ` j ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) )
159	156, 157, 158	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) )
160	159	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) )
161		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( B ` j ) <_ ( A ` j ) )
162	157, 156	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. X ) -> ( ( B ` j ) <_ ( A ` j ) <-> -. ( A ` j ) < ( B ` j ) ) )
163	162	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( ( B ` j ) <_ ( A ` j ) <-> -. ( A ` j ) < ( B ` j ) ) )
164	161, 163	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> -. ( A ` j ) < ( B ` j ) )
165	164	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> if ( ( A ` j ) < ( B ` j ) , ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) , 0 ) = 0 )
166	160, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = 0 )
167	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) /\ k = j ) -> ( vol ` ( ( A ` j ) [,) ( B ` j ) ) ) = 0 )
168	155, 167	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) /\ k = j ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
169	146, 147, 151, 152, 168	fprodeq0g 14725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. X /\ ( B ` j ) <_ ( A ` j ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
170	145, 169	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = 0 )
171	140, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )
172	120, 136, 171	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X /\ ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
173	172	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. X -> ( ( B ` k ) <_ ( A ` k ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) ) ) )
174	173	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( k e. X -> ( ( B ` k ) <_ ( A ` k ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) ) ) )
175	37, 117, 174	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) ) )
176	175	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ E. k e. X ( B ` k ) <_ ( A ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
177	111, 176	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ -. A. k e. X ( A ` k ) < ( B ` k ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
178	97, 177	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
179	36, 178	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
180	34, 179	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-pws 16110  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-phl 19971  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969  df-rrx 23173  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

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