Theorem nvocnv 6537

Description: The converse of an involution is the function itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nvocnv	|- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> `' F = F )

Distinct variable groups:   x, A   x, F

Proof of Theorem nvocnv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> y = ( F ` z ) )
2		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> F : A --> A )
3		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> z e. A )
4	2, 3	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> ( F ` z ) e. A )
5	1, 4	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> y e. A )
6	1	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( F ` z ) ) )
7		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` ( F ` x ) ) = ( F ` ( F ` z ) ) )
10		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
11	9, 10	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( F ` ( F ` x ) ) = x <-> ( F ` ( F ` z ) ) = z ) )
12	11	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x -> ( F ` ( F ` z ) ) = z ) )
13	3, 7, 12	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> ( F ` ( F ` z ) ) = z )
14	6, 13	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> z = ( F ` y ) )
15	5, 14	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) ) -> ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) )
16		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> z = ( F ` y ) )
17		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> F : A --> A )
18		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> y e. A )
19	17, 18	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` y ) e. A )
20	16, 19	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> z e. A )
21	16	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( F ` y ) ) )
22		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F ` ( F ` x ) ) = ( F ` ( F ` y ) ) )
25		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> x = y )
26	24, 25	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( F ` ( F ` x ) ) = x <-> ( F ` ( F ` y ) ) = y ) )
27	26	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x -> ( F ` ( F ` y ) ) = y ) )
28	18, 22, 27	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( F ` y ) ) = y )
29	21, 28	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> y = ( F ` z ) )
30	20, 29	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) /\ ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) -> ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) )
31	15, 30	impbida 877	. . 3 |- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> ( ( z e. A /\ y = ( F ` z ) ) <-> ( y e. A /\ z = ( F ` y ) ) ) )
32	31	mptcnv 5534	. 2 |- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> `' ( z e. A |-> ( F ` z ) ) = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
33		ffn 6045	. . . 4 |- ( F : A --> A -> F Fn A )
34		dffn5 6241	. . . . . 6 |- ( F Fn A <-> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
35	34	biimpi 206	. . . . 5 |- ( F Fn A -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
36	35	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
37	33, 36	sylan 488	. . 3 |- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
38	37	cnveqd 5298	. 2 |- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> `' F = `' ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
39		dffn5 6241	. . . . 5 |- ( F Fn A <-> F = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
40	39	biimpi 206	. . . 4 |- ( F Fn A -> F = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
41	40	adantr 481	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> F = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
42	33, 41	sylan 488	. 2 |- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> F = ( y e. A |-> ( F ` y ) ) )
43	32, 38, 42	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( F : A --> A /\ A. x e. A ( F ` ( F ` x ) ) = x ) -> `' F = F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  mirf1o  25564  lmif1o  25687