Theorem opab0 5007

Description: Empty ordered pair class abstraction. (Contributed by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
opab0	|- ( { <. x , y >. | ph } = (/) <-> A. x A. y -. ph )

Proof of Theorem opab0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opabn0 5006	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. x E. y ph )
2		df-ne 2795	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> -. { <. x , y >. | ph } = (/) )
3		2exnaln 1756	. . 3 |- ( E. x E. y ph <-> -. A. x A. y -. ph )
4	1, 2, 3	3bitr3i 290	. 2 |- ( -. { <. x , y >. | ph } = (/) <-> -. A. x A. y -. ph )
5	4	con4bii 311	1 |- ( { <. x , y >. | ph } = (/) <-> A. x A. y -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   =/= wne 2794   (/)c0 3915   {copab 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713

This theorem is referenced by:  fvmptopab  6697  sprsymrelfvlem  41740