Theorem posglbmo 17147

Description: Greatest lower bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by NM, 20-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubmo.l	|- .<_ = ( le ` K )
poslubmo.b	|- B = ( Base ` K )

Assertion

Ref	Expression
posglbmo	|- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .<_ , y, z   x, B, y, z   x, K, y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem posglbmo

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> w e. B )
2		simprlr 803	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) )
3		simprrl 804	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. y e. S w .<_ y )
4		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z .<_ y <-> w .<_ y ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S w .<_ y ) )
6		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z .<_ x <-> w .<_ x ) )
7	5, 6	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S w .<_ y -> w .<_ x ) ) )
8	7	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( w e. B -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) -> ( A. y e. S w .<_ y -> w .<_ x ) ) )
9	1, 2, 3, 8	syl3c 66	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> w .<_ x )
10		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x e. B )
11		simprrr 805	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) )
12		simprll 802	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> A. y e. S x .<_ y )
13		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z .<_ y <-> x .<_ y ) )
14	13	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( A. y e. S z .<_ y <-> A. y e. S x .<_ y ) )
15		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( z .<_ w <-> x .<_ w ) )
16	14, 15	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) <-> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ w ) ) )
17	16	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) -> ( A. y e. S x .<_ y -> x .<_ w ) ) )
18	10, 11, 12, 17	syl3c 66	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x .<_ w )
19		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> ( x .<_ w /\ w .<_ x ) )
20		poslubmo.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` K )
21		poslubmo.l	. . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` K )
22	20, 21	posasymb 16952	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( x .<_ w /\ w .<_ x ) <-> x = w ) )
23	19, 22	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ w e. B ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
24	23	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
25	24	ad4ant13 1292	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> ( ( w .<_ x /\ x .<_ w ) <-> x = w ) )
26	9, 18, 25	mpbi2and 956	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) /\ ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) ) -> x = w )
27	26	ex 450	. . 3 |- ( ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) /\ ( x e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
28	27	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
29		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = w -> ( x .<_ y <-> w .<_ y ) )
30	29	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. S x .<_ y <-> A. y e. S w .<_ y ) )
31		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( z .<_ x <-> z .<_ w ) )
32	31	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = w -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) )
34	30, 33	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = w -> ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) )
35	34	rmo4 3399	. 2 |- ( E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> A. x e. B A. w e. B ( ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) /\ ( A. y e. S w .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ w ) ) ) -> x = w ) )
36	28, 35	sylibr 224	1 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E*wrmo 2915   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946

This theorem is referenced by: (None)