Theorem poslubd 17148

Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
poslubd.l	|- .<_ = ( le ` K )
poslubd.b	|- B = ( Base ` K )
poslubd.u	|- U = ( lub ` K )
poslubd.k	|- ( ph -> K e. Poset )
poslubd.s	|- ( ph -> S C_ B )
poslubd.t	|- ( ph -> T e. B )
poslubd.ub	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> x .<_ T )
poslubd.le	|- ( ( ph /\ y e. B /\ A. x e. S x .<_ y ) -> T .<_ y )

Assertion

Ref	Expression
poslubd	|- ( ph -> ( U ` S ) = T )

Distinct variable groups:   x, .<_ , y   x, B, y   x, K, y   x, S, y   x, U, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem poslubd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poslubd.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		poslubd.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		poslubd.u	. . 3 |- U = ( lub ` K )
4		biid 251	. . 3 |- ( ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) <-> ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) )
5		poslubd.k	. . 3 |- ( ph -> K e. Poset )
6		poslubd.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ B )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubval 16984	. 2 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) ) )
8		poslubd.ub	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x .<_ T )
9	8	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. S x .<_ T )
10		poslubd.le	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B /\ A. x e. S x .<_ y ) -> T .<_ y )
11	10	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) )
12	11	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) )
13	9, 12	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. S x .<_ T /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) )
14		poslubd.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. B )
15		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( z = T -> ( x .<_ z <-> x .<_ T ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = T -> ( A. x e. S x .<_ z <-> A. x e. S x .<_ T ) )
17		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = T -> ( z .<_ y <-> T .<_ y ) )
18	17	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( z = T -> ( ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) <-> ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = T -> ( A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) <-> A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) )
20	16, 19	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( z = T -> ( ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) <-> ( A. x e. S x .<_ T /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( T e. B /\ ( A. x e. S x .<_ T /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) ) -> E. z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) )
22	14, 13, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) )
23	2, 1	poslubmo 17146	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ S C_ B ) -> E* z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) )
24	5, 6, 23	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E* z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) )
25		reu5 3159	. . . . 5 |- ( E! z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) <-> ( E. z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) /\ E* z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) ) )
26	22, 24, 25	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> E! z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) )
27	20	riota2 6633	. . . 4 |- ( ( T e. B /\ E! z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) ) -> ( ( A. x e. S x .<_ T /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) <-> ( iota_ z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) ) = T ) )
28	14, 26, 27	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. x e. S x .<_ T /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> T .<_ y ) ) <-> ( iota_ z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) ) = T ) )
29	13, 28	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( iota_ z e. B ( A. x e. S x .<_ z /\ A. y e. B ( A. x e. S x .<_ y -> z .<_ y ) ) ) = T )
30	7, 29	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( U ` S ) = T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   iota_crio 6610   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   lubclub 16942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974

This theorem is referenced by:  poslubdg  17149