Theorem posn 5187

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by NM, 27-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
posn	|- ( Rel R -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Proof of Theorem posn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		po0 5050	. . . . . 6 |- R Po (/)
2		snprc 4253	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		poeq2 5039	. . . . . . 7 |- ( { A } = (/) -> ( R Po { A } <-> R Po (/) ) )
4	2, 3	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( R Po { A } <-> R Po (/) ) )
5	1, 4	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> R Po { A } )
6	5	adantl 482	. . . 4 |- ( ( Rel R /\ -. A e. _V ) -> R Po { A } )
7		brrelex 5156	. . . . 5 |- ( ( Rel R /\ A R A ) -> A e. _V )
8	7	stoic1a 1697	. . . 4 |- ( ( Rel R /\ -. A e. _V ) -> -. A R A )
9	6, 8	2thd 255	. . 3 |- ( ( Rel R /\ -. A e. _V ) -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )
10	9	ex 450	. 2 |- ( Rel R -> ( -. A e. _V -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) ) )
11		df-po 5035	. . 3 |- ( R Po { A } <-> A. x e. { A } A. y e. { A } A. z e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
12		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = A -> ( y R z <-> y R A ) )
13	12	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x R y /\ y R A ) ) )
14		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( z = A -> ( x R z <-> x R A ) )
15	13, 14	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) ) )
17	16	ralsng 4218	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. z e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. z e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) ) )
19		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x R y /\ y R A ) -> x R y )
20		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( x R y <-> x R A ) )
21	19, 20	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) )
22	21	biantrud 528	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. x R x <-> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) ) )
23	22	bicomd 213	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) <-> -. x R x ) )
24	23	ralsng 4218	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R A ) -> x R A ) ) <-> -. x R x ) )
25	18, 24	bitrd 268	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A. y e. { A } A. z e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> -. x R x ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } A. y e. { A } A. z e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. { A } -. x R x ) )
27		breq12 4658	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ x = A ) -> ( x R x <-> A R A ) )
28	27	anidms 677	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x R x <-> A R A ) )
29	28	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = A -> ( -. x R x <-> -. A R A ) )
30	29	ralsng 4218	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } -. x R x <-> -. A R A ) )
31	26, 30	bitrd 268	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A. x e. { A } A. y e. { A } A. z e. { A } ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> -. A R A ) )
32	11, 31	syl5bb 272	. 2 |- ( A e. _V -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )
33	10, 32	pm2.61d2 172	1 |- ( Rel R -> ( R Po { A } <-> -. A R A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  sosn  5188