Theorem prter3 34167

Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prtlem18.1	|- .~ = { <. x , y >. | E. u e. A ( x e. u /\ y e. u ) }

Assertion

Ref	Expression
prter3	|- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> .~ = S )

Distinct variable group:   x, u, y, A

Allowed substitution hints:   .~ ( x, y, u)   S( x, y, u)

Proof of Theorem prter3

Dummy variables v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		errel 7751	. . 3 |- ( S Er U. A -> Rel S )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> Rel S )
3		prtlem18.1	. . . 4 |- .~ = { <. x , y >. | E. u e. A ( x e. u /\ y e. u ) }
4	3	relopabi 5245	. . 3 |- Rel .~
5	3	prtlem13 34153	. . . . . 6 |- ( z .~ w <-> E. v e. A ( z e. v /\ w e. v ) )
6		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> S Er U. A )
7		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> v e. A )
8		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. v -> v =/= (/) )
9	8	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> v =/= (/) )
10		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( A \ { (/) } ) <-> ( v e. A /\ v =/= (/) ) )
11	7, 9, 10	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> v e. ( A \ { (/) } ) )
12		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) )
13	11, 12	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> v e. ( U. A /. S ) )
14		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> z e. v )
15		qsel 7826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S Er U. A /\ v e. ( U. A /. S ) /\ z e. v ) -> v = [ z ] S )
16	6, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> v = [ z ] S )
17	16	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> ( w e. v <-> w e. [ z ] S ) )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
20	18, 19	elec 7786	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. [ z ] S <-> z S w )
21	17, 20	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ ( v e. A /\ z e. v ) ) -> ( w e. v <-> z S w ) )
22	21	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ v e. A ) /\ z e. v ) -> ( w e. v <-> z S w ) )
23	22	pm5.32da 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ v e. A ) -> ( ( z e. v /\ w e. v ) <-> ( z e. v /\ z S w ) ) )
24	23	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> ( E. v e. A ( z e. v /\ w e. v ) <-> E. v e. A ( z e. v /\ z S w ) ) )
25		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ z S w ) -> S Er U. A )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ z S w ) -> z S w )
27	25, 26	ercl 7753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ z S w ) -> z e. U. A )
28		eluni2 4440	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. U. A <-> E. v e. A z e. v )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) /\ z S w ) -> E. v e. A z e. v )
30	29	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> ( z S w -> E. v e. A z e. v ) )
31	30	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> ( z S w <-> ( E. v e. A z e. v /\ z S w ) ) )
32		r19.41v 3089	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. A ( z e. v /\ z S w ) <-> ( E. v e. A z e. v /\ z S w ) )
33	31, 32	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> ( z S w <-> E. v e. A ( z e. v /\ z S w ) ) )
34	24, 33	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> ( E. v e. A ( z e. v /\ w e. v ) <-> z S w ) )
35	5, 34	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> ( z .~ w <-> z S w ) )
36	35	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( Rel .~ /\ Rel S ) /\ ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) ) -> ( z .~ w <-> z S w ) )
37	36	eqbrrdv2 34148	. . 3 |- ( ( ( Rel .~ /\ Rel S ) /\ ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) ) -> .~ = S )
38	4, 37	mpanl1 716	. 2 |- ( ( Rel S /\ ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) ) -> .~ = S )
39	2, 38	mpancom 703	1 |- ( ( S Er U. A /\ ( U. A /. S ) = ( A \ { (/) } ) ) -> .~ = S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   Rel wrel 5119   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748

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