Theorem ralidm 4075

Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ralidm	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ralidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rzal 4073	. . 3 |- ( A = (/) -> A. x e. A A. x e. A ph )
2		rzal 4073	. . 3 |- ( A = (/) -> A. x e. A ph )
3	1, 2	2thd 255	. 2 |- ( A = (/) -> ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph ) )
4		neq0 3930	. . 3 |- ( -. A = (/) <-> E. x x e. A )
5		biimt 350	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ph <-> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) ) )
6		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
7		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. A ph
8	7	19.23 2080	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) <-> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
9	6, 8	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> ( E. x x e. A -> A. x e. A ph ) )
10	5, 9	syl6rbbr 279	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph ) )
11	4, 10	sylbi 207	. 2 |- ( -. A = (/) -> ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph ) )
12	3, 11	pm2.61i 176	1 |- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  issref  5509  cnvpo  5673  dfwe2  6981