Theorem cnvpo 5673

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cnvpo	|- ( R Po A <-> `' R Po A )

Proof of Theorem cnvpo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3064	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
2		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
3	2, 2	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( z `' R z <-> z R z )
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> z = x )
5	4, 4	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( z R z <-> x R x ) )
6	3, 5	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z `' R z <-> x R x ) )
7	6	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( -. z `' R z <-> -. x R x ) )
8	7	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A -. z `' R z <-> A. x e. A -. x R x )
9		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
10	2, 9	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( z `' R y <-> y R z )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
12	9, 11	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' R x <-> x R y )
13	10, 12	anbi12ci 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z `' R y /\ y `' R x ) <-> ( x R y /\ y R z ) )
14	2, 11	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( z `' R x <-> x R z )
15	13, 14	imbi12i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) <-> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
16	15	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) <-> A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
17	8, 16	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
18	1, 17	bitr2i 265	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
19	18	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
20		r19.26 3064	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. z e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
21		ralidm 4075	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A -. x R x )
22		rzal 4073	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> A. x e. A -. x R x )
23		rzal 4073	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> A. x e. A A. z e. A -. x R x )
24	22, 23	2thd 255	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A A. z e. A -. x R x ) )
25		r19.3rzv 4064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= (/) -> ( -. x R x <-> A. z e. A -. x R x ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A A. z e. A -. x R x ) )
27	24, 26	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A A. z e. A -. x R x )
28	21, 27	bitr2i 265	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. z e. A -. x R x <-> A. x e. A A. x e. A -. x R x )
29	28	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A A. z e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
30	20, 29	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
31		r19.26 3064	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
32	31	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
33		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
34	30, 32, 33	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
35		ralcom 3098	. . . . 5 |- ( A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
36	19, 34, 35	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
37	36	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
38		ralcom 3098	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
39		ralcom 3098	. . 3 |- ( A. z e. A A. y e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4i 292	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
41		df-po 5035	. 2 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
42		df-po 5035	. 2 |- ( `' R Po A <-> A. z e. A A. y e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4i 292	1 |- ( R Po A <-> `' R Po A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  cnvso  5674  fimax2g  8206  fin23lem40  9173  isfin1-3  9208