Theorem issref 5509

Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issref	|- ( ( _I |` A ) C_ R <-> A. x e. A x R x )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem issref

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. A x R x <-> A. x ( x e. A -> x R x ) )
2		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
3		opelresi 5408	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) <-> x e. A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) <-> x e. A )
5		df-br 4654	. . . . 5 |- ( x R x <-> <. x , x >. e. R )
6	5	bicomi 214	. . . 4 |- ( <. x , x >. e. R <-> x R x )
7	4, 6	imbi12i 340	. . 3 |- ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> ( x e. A -> x R x ) )
8	7	albii 1747	. 2 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( x e. A -> x R x ) )
9		ralidm 4075	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
10		ralv 3219	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
11	9, 10	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
12		df-ral 2917	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> A. x ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) )
13		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. _V -> ( ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) )
14		opelresg 5404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) <-> ( <. x , z >. e. _I /\ x e. A ) ) )
15		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x _I z <-> <. x , z >. e. _I )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. _V
17	16	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x _I z <-> x = z )
18		opelresi 5408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. A -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) <-> x e. A ) )
19		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , x >. e. R ) )
20		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> <. x , x >. = <. x , z >. )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( <. x , x >. e. R <-> <. x , z >. e. R ) )
22	21	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. x , x >. e. R -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) )
23	19, 22	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) ) )
24	18, 23	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. A -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) ) ) )
25	24	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( x = z -> <. x , z >. e. R ) ) )
26	25	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
27	17, 26	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x _I z -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
28	15, 27	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , z >. e. _I -> ( x e. A -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. x , z >. e. _I /\ x e. A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) )
30	14, 29	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
31	30	com3r 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( z e. _V -> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
32	31	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
33	13, 32	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. _V -> ( ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
34	2, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
35	34	sps 2055	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( x e. _V -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
36	12, 35	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
37	36	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. x e. _V A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
38		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , z >. -> ( y e. ( _I |` A ) <-> <. x , z >. e. ( _I |` A ) ) )
39		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. x , z >. -> ( y e. R <-> <. x , z >. e. R ) )
40	38, 39	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = <. x , z >. -> ( ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) <-> ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
41	40	ralxp 5263	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) <-> A. x e. _V A. z e. _V ( <. x , z >. e. ( _I |` A ) -> <. x , z >. e. R ) )
42	37, 41	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
43		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) <-> A. y ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) )
44		relres 5426	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel ( _I |` A )
45		df-rel 5121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel ( _I |` A ) <-> ( _I |` A ) C_ ( _V X. _V ) )
46	44, 45	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` A ) C_ ( _V X. _V )
47	46	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( _I |` A ) -> y e. ( _V X. _V ) )
48	47	ancri 575	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( _I |` A ) -> ( y e. ( _V X. _V ) /\ y e. ( _I |` A ) ) )
49		pm3.31 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) -> ( ( y e. ( _V X. _V ) /\ y e. ( _I |` A ) ) -> y e. R ) )
50	48, 49	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
51	50	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y e. ( _V X. _V ) -> ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
52	43, 51	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( _V X. _V ) ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
53	42, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( A. x e. _V A. x e. _V ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
54	11, 53	sylbir 225	. . . 4 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
55		dfss2 3591	. . . 4 |- ( ( _I |` A ) C_ R <-> A. y ( y e. ( _I |` A ) -> y e. R ) )
56	54, 55	sylibr 224	. . 3 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) -> ( _I |` A ) C_ R )
57		ssel 3597	. . . 4 |- ( ( _I |` A ) C_ R -> ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
58	57	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ( _I |` A ) C_ R -> A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) )
59	56, 58	impbii 199	. 2 |- ( A. x ( <. x , x >. e. ( _I |` A ) -> <. x , x >. e. R ) <-> ( _I |` A ) C_ R )
60	1, 8, 59	3bitr2ri 289	1 |- ( ( _I |` A ) C_ R <-> A. x e. A x R x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-res 5126

This theorem is referenced by:  idinxpssinxp2  34089  idinxpssinxp3  34090