Theorem resin 6158

Description: The restriction of a one-to-one onto function to an intersection maps onto the intersection of the images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
resin	|- ( ( Fun `' F /\ ( F |` A ) : A -onto-> C /\ ( F |` B ) : B -onto-> D ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C i^i D ) )

Proof of Theorem resin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resdif 6157	. . . 4 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` A ) : A -onto-> C /\ ( F |` B ) : B -onto-> D ) -> ( F |` ( A \ B ) ) : ( A \ B ) -1-1-onto-> ( C \ D ) )
2		f1ofo 6144	. . . 4 |- ( ( F |` ( A \ B ) ) : ( A \ B ) -1-1-onto-> ( C \ D ) -> ( F |` ( A \ B ) ) : ( A \ B ) -onto-> ( C \ D ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` A ) : A -onto-> C /\ ( F |` B ) : B -onto-> D ) -> ( F |` ( A \ B ) ) : ( A \ B ) -onto-> ( C \ D ) )
4		resdif 6157	. . 3 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` A ) : A -onto-> C /\ ( F |` ( A \ B ) ) : ( A \ B ) -onto-> ( C \ D ) ) -> ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) )
5	3, 4	syld3an3 1371	. 2 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` A ) : A -onto-> C /\ ( F |` B ) : B -onto-> D ) -> ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) )
6		dfin4 3867	. . . 4 |- ( C i^i D ) = ( C \ ( C \ D ) )
7		f1oeq3 6129	. . . 4 |- ( ( C i^i D ) = ( C \ ( C \ D ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C i^i D ) <-> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C i^i D ) <-> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) )
9		dfin4 3867	. . . 4 |- ( A i^i B ) = ( A \ ( A \ B ) )
10		f1oeq2 6128	. . . 4 |- ( ( A i^i B ) = ( A \ ( A \ B ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) <-> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) <-> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) )
12	9	reseq2i 5393	. . . 4 |- ( F |` ( A i^i B ) ) = ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) )
13		f1oeq1 6127	. . . 4 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) = ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) <-> ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) <-> ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) )
15	8, 11, 14	3bitrri 287	. 2 |- ( ( F |` ( A \ ( A \ B ) ) ) : ( A \ ( A \ B ) ) -1-1-onto-> ( C \ ( C \ D ) ) <-> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C i^i D ) )
16	5, 15	sylib 208	1 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` A ) : A -onto-> C /\ ( F |` B ) : B -onto-> D ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) : ( A i^i B ) -1-1-onto-> ( C i^i D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   \ cdif 3571   i^i cin 3573   `'ccnv 5113   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

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