Theorem f1oco 6159

Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oco	|- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 5895	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) )
2		df-f1o 5895	. . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
3		f1co 6110	. . . . 5 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )
4		foco 6125	. . . . 5 |- ( ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -onto-> C )
5	3, 4	anim12i 590	. . . 4 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
6	5	an4s 869	. . 3 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) /\ ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
7	1, 2, 6	syl2anb 496	. 2 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
8		df-f1o 5895	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C <-> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
9	7, 8	sylibr 224	1 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   o. ccom 5118   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  fveqf1o  6557  isotr  6586  ener  8002  enerOLD  8003  omf1o  8063  enfixsn  8069  oef1o  8595  cnfcom3  8601  infxpenc  8841  ackbij2lem2  9062  canthp1lem2  9475  pwfseqlem5  9485  hashfacen  13238  summolem3  14445  fsumf1o  14454  ackbijnn  14560  prodmolem3  14663  fprodf1o  14676  eulerthlem2  15487  symgcl  17811  pmtrfconj  17886  gsumval3eu  18305  gsumval3lem1  18306  gsumval3  18308  lmimco  20183  resinf1o  24282  motco  25435  counop  28780  eulerpartgbij  30434  derangenlem  31153  subfacp1lem5  31166  poimirlem9  33418  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  rngoisoco  33781  lautco  35383  clsneif1o  38402  neicvgf1o  38412  uspgrbisymrelALT  41763