Theorem reusv2lem2 4869

Description: Lemma for reusv2 4874. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.) (Proof shortened by JJ, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem2	|- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reusv2lem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eunex 4859	. . . . 5 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x -. A. y e. A x = B )
2		exnal 1754	. . . . 5 |- ( E. x -. A. y e. A x = B <-> -. A. x A. y e. A x = B )
3	1, 2	sylib 208	. . . 4 |- ( E! x A. y e. A x = B -> -. A. x A. y e. A x = B )
4		rzal 4073	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. y e. A x = B )
5	4	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. x A. y e. A x = B )
6	3, 5	nsyl3 133	. . 3 |- ( A = (/) -> -. E! x A. y e. A x = B )
7	6	pm2.21d 118	. 2 |- ( A = (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x A. y e. A x = B )
9		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. A z = B
10		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. A x = B
11		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) /\ x = B ) -> x = B )
12		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) -> z = B )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) /\ x = B ) -> z = B )
14	11, 13	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) /\ x = B ) -> x = z )
15		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
17	16	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. A z = B -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) /\ x = B ) -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
19	14, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. y e. A z = B /\ y e. A ) /\ x = B ) -> A. y e. A x = B )
20	19	exp31 630	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. A z = B -> ( y e. A -> ( x = B -> A. y e. A x = B ) ) )
21	9, 10, 20	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A z = B -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
23		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
24	23	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
26	22, 25	impbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )
27	26	eubidv 2490	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A z = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
28	27	ex 450	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
29	28	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( E. z A. y e. A z = B -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) ) )
30		euex 2494	. . . . . 6 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. x A. y e. A x = B )
31	16	cbvexv 2275	. . . . . 6 |- ( E. x A. y e. A x = B <-> E. z A. y e. A z = B )
32	30, 31	sylib 208	. . . . 5 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E. z A. y e. A z = B )
33	29, 32	impel 485	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )
34	8, 33	mpbird 247	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E! x A. y e. A x = B ) -> E! x E. y e. A x = B )
35	34	ex 450	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B ) )
36	7, 35	pm2.61ine 2877	1 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  reusv2lem3  4871