Theorem reusv2lem3 4871

Description: Lemma for reusv2 4874. (Contributed by NM, 14-Dec-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem3	|- ( A. y e. A B e. _V -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem reusv2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> E! x E. y e. A x = B )
2		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x A. y e. A B e. _V
3		nfeu1 2480	. . . . . 6 |- F/ x E! x E. y e. A x = B
4	2, 3	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B )
5		euex 2494	. . . . . . . 8 |- ( E! x E. y e. A x = B -> E. x E. y e. A x = B )
6		rexn0 4074	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. A x = B -> A =/= (/) )
7	6	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. x E. y e. A x = B -> A =/= (/) )
8		r19.2z 4060	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
9	8	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
10	5, 7, 9	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
11	10	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
12		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. A B e. _V
13		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 |- F/ y E. y e. A x = B
14	13	nfeu 2486	. . . . . . . 8 |- F/ y E! x E. y e. A x = B
15	12, 14	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B )
16		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. A B e. _V -> ( y e. A -> B e. _V ) )
17	16	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ A. y e. A B e. _V ) -> B e. _V )
18		isset 3207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V <-> E. x x = B )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ A. y e. A B e. _V ) -> E. x x = B )
20	19	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) ) -> E. x x = B )
21		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ x = B ) -> E. y e. A x = B )
22	21	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( x = B -> E. y e. A x = B ) )
23	22	ancrd 577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> ( x = B -> ( E. y e. A x = B /\ x = B ) ) )
24	23	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( E. x x = B -> E. x ( E. y e. A x = B /\ x = B ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ E. x x = B ) -> E. x ( E. y e. A x = B /\ x = B ) )
26	20, 25	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) ) -> E. x ( E. y e. A x = B /\ x = B ) )
27		eupick 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E! x E. y e. A x = B /\ E. x ( E. y e. A x = B /\ x = B ) ) -> ( E. y e. A x = B -> x = B ) )
28	1, 26, 27	syl2an2 875	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) ) -> ( E. y e. A x = B -> x = B ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> ( E. y e. A x = B -> x = B ) ) )
30	29	com3l 89	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> ( E. y e. A x = B -> ( y e. A -> x = B ) ) )
31	15, 13, 30	ralrimd 2959	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
32	11, 31	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> ( A. y e. A x = B <-> E. y e. A x = B ) )
33	4, 32	eubid 2488	. . . 4 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> ( E! x A. y e. A x = B <-> E! x E. y e. A x = B ) )
34	1, 33	mpbird 247	. . 3 |- ( ( A. y e. A B e. _V /\ E! x E. y e. A x = B ) -> E! x A. y e. A x = B )
35	34	ex 450	. 2 |- ( A. y e. A B e. _V -> ( E! x E. y e. A x = B -> E! x A. y e. A x = B ) )
36		reusv2lem2 4869	. 2 |- ( E! x A. y e. A x = B -> E! x E. y e. A x = B )
37	35, 36	impbid1 215	1 |- ( A. y e. A B e. _V -> ( E! x E. y e. A x = B <-> E! x A. y e. A x = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  reusv2lem4  4872  eusv4  4877