Theorem reusv2 4874

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression C ( y ) that is constant for those y e. B such that ph. The first antecedent ensures that the constant value belongs to the existential uniqueness domain A, and the second ensures that C ( y ) is evaluated for at least one y. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2	|- ( ( A. y e. B ( ph -> C e. A ) /\ E. y e. B ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) <-> E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)   C( y)

Proof of Theorem reusv2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ y { y e. B | ph }
2		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ z { y e. B | ph }
3		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z C e. A
4		nfcsb1v 3549	. . . . 5 |- F/_ y [_ z / y ]_ C
5	4	nfel1 2779	. . . 4 |- F/ y [_ z / y ]_ C e. A
6		csbeq1a 3542	. . . . 5 |- ( y = z -> C = [_ z / y ]_ C )
7	6	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = z -> ( C e. A <-> [_ z / y ]_ C e. A ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	cbvralf 3165	. . 3 |- ( A. y e. { y e. B | ph } C e. A <-> A. z e. { y e. B | ph } [_ z / y ]_ C e. A )
9		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( y e. { y e. B | ph } <-> ( y e. B /\ ph ) )
10	9	imbi1i 339	. . . . 5 |- ( ( y e. { y e. B | ph } -> C e. A ) <-> ( ( y e. B /\ ph ) -> C e. A ) )
11		impexp 462	. . . . 5 |- ( ( ( y e. B /\ ph ) -> C e. A ) <-> ( y e. B -> ( ph -> C e. A ) ) )
12	10, 11	bitri 264	. . . 4 |- ( ( y e. { y e. B | ph } -> C e. A ) <-> ( y e. B -> ( ph -> C e. A ) ) )
13	12	ralbii2 2978	. . 3 |- ( A. y e. { y e. B | ph } C e. A <-> A. y e. B ( ph -> C e. A ) )
14	8, 13	bitr3i 266	. 2 |- ( A. z e. { y e. B | ph } [_ z / y ]_ C e. A <-> A. y e. B ( ph -> C e. A ) )
15		rabn0 3958	. 2 |- ( { y e. B | ph } =/= (/) <-> E. y e. B ph )
16		reusv2lem5 4873	. . 3 |- ( ( A. z e. { y e. B | ph } [_ z / y ]_ C e. A /\ { y e. B | ph } =/= (/) ) -> ( E! x e. A E. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x e. A A. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C ) )
17		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z x = C
18	4	nfeq2 2780	. . . . . 6 |- F/ y x = [_ z / y ]_ C
19	6	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x = C <-> x = [_ z / y ]_ C ) )
20	1, 2, 17, 18, 19	cbvrexf 3166	. . . . 5 |- ( E. y e. { y e. B | ph } x = C <-> E. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C )
21	9	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | ph } /\ x = C ) <-> ( ( y e. B /\ ph ) /\ x = C ) )
22		anass 681	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. B /\ ph ) /\ x = C ) <-> ( y e. B /\ ( ph /\ x = C ) ) )
23	21, 22	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y e. B | ph } /\ x = C ) <-> ( y e. B /\ ( ph /\ x = C ) ) )
24	23	rexbii2 3039	. . . . 5 |- ( E. y e. { y e. B | ph } x = C <-> E. y e. B ( ph /\ x = C ) )
25	20, 24	bitr3i 266	. . . 4 |- ( E. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C <-> E. y e. B ( ph /\ x = C ) )
26	25	reubii 3128	. . 3 |- ( E! x e. A E. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) )
27	1, 2, 17, 18, 19	cbvralf 3165	. . . . 5 |- ( A. y e. { y e. B | ph } x = C <-> A. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C )
28	9	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | ph } -> x = C ) <-> ( ( y e. B /\ ph ) -> x = C ) )
29		impexp 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. B /\ ph ) -> x = C ) <-> ( y e. B -> ( ph -> x = C ) ) )
30	28, 29	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y e. B | ph } -> x = C ) <-> ( y e. B -> ( ph -> x = C ) ) )
31	30	ralbii2 2978	. . . . 5 |- ( A. y e. { y e. B | ph } x = C <-> A. y e. B ( ph -> x = C ) )
32	27, 31	bitr3i 266	. . . 4 |- ( A. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C <-> A. y e. B ( ph -> x = C ) )
33	32	reubii 3128	. . 3 |- ( E! x e. A A. z e. { y e. B | ph } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) )
34	16, 26, 33	3bitr3g 302	. 2 |- ( ( A. z e. { y e. B | ph } [_ z / y ]_ C e. A /\ { y e. B | ph } =/= (/) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) <-> E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )
35	14, 15, 34	syl2anbr 497	1 |- ( ( A. y e. B ( ph -> C e. A ) /\ E. y e. B ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) <-> E! x e. A A. y e. B ( ph -> x = C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   [_csb 3533   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  cdleme25dN  35644