Theorem reusv2lem5 4873

Description: Lemma for reusv2 4874. (Contributed by NM, 4-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem5	|- ( ( A. y e. B C e. A /\ B =/= (/) ) -> ( E! x e. A E. y e. B x = C <-> E! x e. A A. y e. B x = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem reusv2lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1487	. . . . . . . . 9 |- T.
2		biimt 350	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. A /\ T. ) -> ( x = C <-> ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) ) )
3	1, 2	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( x = C <-> ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) ) )
4		ibar 525	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( x = C <-> ( C e. A /\ x = C ) ) )
5	3, 4	bitr3d 270	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> ( ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> ( C e. A /\ x = C ) ) )
6		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
7	6	pm5.32ri 670	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ x = C ) <-> ( C e. A /\ x = C ) )
8	5, 7	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( C e. A -> ( ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> ( x e. A /\ x = C ) ) )
9	8	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. A -> A. y e. B ( ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> ( x e. A /\ x = C ) ) )
10		ralbi 3068	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> ( x e. A /\ x = C ) ) -> ( A. y e. B ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> A. y e. B ( x e. A /\ x = C ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. A -> ( A. y e. B ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> A. y e. B ( x e. A /\ x = C ) ) )
12	11	eubidv 2490	. . 3 |- ( A. y e. B C e. A -> ( E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> E! x A. y e. B ( x e. A /\ x = C ) ) )
13		r19.28zv 4066	. . . 4 |- ( B =/= (/) -> ( A. y e. B ( x e. A /\ x = C ) <-> ( x e. A /\ A. y e. B x = C ) ) )
14	13	eubidv 2490	. . 3 |- ( B =/= (/) -> ( E! x A. y e. B ( x e. A /\ x = C ) <-> E! x ( x e. A /\ A. y e. B x = C ) ) )
15	12, 14	sylan9bb 736	. 2 |- ( ( A. y e. B C e. A /\ B =/= (/) ) -> ( E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) <-> E! x ( x e. A /\ A. y e. B x = C ) ) )
16	1	biantrur 527	. . . . 5 |- ( x = C <-> ( T. /\ x = C ) )
17	16	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. y e. B x = C <-> E. y e. B ( T. /\ x = C ) )
18	17	reubii 3128	. . 3 |- ( E! x e. A E. y e. B x = C <-> E! x e. A E. y e. B ( T. /\ x = C ) )
19		reusv2lem4 4872	. . 3 |- ( E! x e. A E. y e. B ( T. /\ x = C ) <-> E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) )
20	18, 19	bitri 264	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B x = C <-> E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ T. ) -> x = C ) )
21		df-reu 2919	. 2 |- ( E! x e. A A. y e. B x = C <-> E! x ( x e. A /\ A. y e. B x = C ) )
22	15, 20, 21	3bitr4g 303	1 |- ( ( A. y e. B C e. A /\ B =/= (/) ) -> ( E! x e. A E. y e. B x = C <-> E! x e. A A. y e. B x = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  reusv2  4874