Theorem reusv2lem4 4872

Description: Lemma for reusv2 4874. (Contributed by NM, 13-Dec-2012.)

Assertion

Ref	Expression
reusv2lem4	|- ( E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) <-> E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)   C( y)

Proof of Theorem reusv2lem4

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-reu 2919	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) <-> E! x ( x e. A /\ E. y e. B ( ph /\ x = C ) ) )
2		anass 681	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. B /\ ( C e. A /\ ph ) ) /\ x = C ) <-> ( y e. B /\ ( ( C e. A /\ ph ) /\ x = C ) ) )
3		rabid 3116	. . . . . . 7 |- ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } <-> ( y e. B /\ ( C e. A /\ ph ) ) )
4	3	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } /\ x = C ) <-> ( ( y e. B /\ ( C e. A /\ ph ) ) /\ x = C ) )
5		anass 681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ x = C ) <-> ( x e. A /\ ( ph /\ x = C ) ) )
6		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
7	6	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( C e. A /\ ph ) ) )
8	7	pm5.32ri 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ x = C ) <-> ( ( C e. A /\ ph ) /\ x = C ) )
9	5, 8	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ ( ph /\ x = C ) ) <-> ( ( C e. A /\ ph ) /\ x = C ) )
10	9	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ( ph /\ x = C ) ) ) <-> ( y e. B /\ ( ( C e. A /\ ph ) /\ x = C ) ) )
11	2, 4, 10	3bitr4ri 293	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ( ph /\ x = C ) ) ) <-> ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } /\ x = C ) )
12	11	rexbii2 3039	. . . 4 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ( ph /\ x = C ) ) <-> E. y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = C )
13		r19.42v 3092	. . . 4 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ( ph /\ x = C ) ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ( ph /\ x = C ) ) )
14		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ y { y e. B | ( C e. A /\ ph ) }
15		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ z { y e. B | ( C e. A /\ ph ) }
16		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z x = C
17		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ y [_ z / y ]_ C
18	17	nfeq2 2780	. . . . 5 |- F/ y x = [_ z / y ]_ C
19		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( y = z -> C = [_ z / y ]_ C )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( y = z -> ( x = C <-> x = [_ z / y ]_ C ) )
21	14, 15, 16, 18, 20	cbvrexf 3166	. . . 4 |- ( E. y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = C <-> E. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C )
22	12, 13, 21	3bitr3i 290	. . 3 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ( ph /\ x = C ) ) <-> E. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C )
23	22	eubii 2492	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ E. y e. B ( ph /\ x = C ) ) <-> E! x E. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C )
24		elex 3212	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> C e. _V )
25	24	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ ( C e. A /\ ph ) ) -> C e. _V )
26	3, 25	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> C e. _V )
27	26	rgen 2922	. . . . 5 |- A. y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } C e. _V
28		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z C e. _V
29	17	nfel1 2779	. . . . . 6 |- F/ y [_ z / y ]_ C e. _V
30	19	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( C e. _V <-> [_ z / y ]_ C e. _V ) )
31	14, 15, 28, 29, 30	cbvralf 3165	. . . . 5 |- ( A. y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } C e. _V <-> A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } [_ z / y ]_ C e. _V )
32	27, 31	mpbi 220	. . . 4 |- A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } [_ z / y ]_ C e. _V
33		reusv2lem3 4871	. . . 4 |- ( A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } [_ z / y ]_ C e. _V -> ( E! x E. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . 3 |- ( E! x E. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C )
35		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C <-> A. z ( z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = [_ z / y ]_ C ) )
36		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C )
37	14	nfcri 2758	. . . . . . 7 |- F/ y z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) }
38	37, 18	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ y ( z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = [_ z / y ]_ C )
39		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } <-> z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } ) )
40	39, 20	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C ) <-> ( z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = [_ z / y ]_ C ) ) )
41	36, 38, 40	cbval 2271	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C ) <-> A. z ( z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = [_ z / y ]_ C ) )
42	3	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C ) <-> ( ( y e. B /\ ( C e. A /\ ph ) ) -> x = C ) )
43		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. B /\ ( C e. A /\ ph ) ) -> x = C ) <-> ( y e. B -> ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) ) )
44	42, 43	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C ) <-> ( y e. B -> ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) ) )
45	44	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C ) <-> A. y ( y e. B -> ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) ) )
46		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) <-> A. y ( y e. B -> ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) ) )
47	45, 46	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( A. y ( y e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } -> x = C ) <-> A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) )
48	35, 41, 47	3bitr2i 288	. . . 4 |- ( A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C <-> A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) )
49	48	eubii 2492	. . 3 |- ( E! x A. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) )
50	34, 49	bitri 264	. 2 |- ( E! x E. z e. { y e. B | ( C e. A /\ ph ) } x = [_ z / y ]_ C <-> E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) )
51	1, 23, 50	3bitri 286	1 |- ( E! x e. A E. y e. B ( ph /\ x = C ) <-> E! x A. y e. B ( ( C e. A /\ ph ) -> x = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  reusv2lem5  4873