Theorem rexxpf 5269

Description: Version of rexxp 5264 with bound-variable hypotheses. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralxpf.1	|- F/ y ph
ralxpf.2	|- F/ z ph
ralxpf.3	|- F/ x ps
ralxpf.4	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexxpf	|- ( E. x e. ( A X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   A( z)

Proof of Theorem rexxpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxpf.1	. . . . . 6 |- F/ y ph
2	1	nfn 1784	. . . . 5 |- F/ y -. ph
3		ralxpf.2	. . . . . 6 |- F/ z ph
4	3	nfn 1784	. . . . 5 |- F/ z -. ph
5		ralxpf.3	. . . . . 6 |- F/ x ps
6	5	nfn 1784	. . . . 5 |- F/ x -. ps
7		ralxpf.4	. . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
8	7	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> ( -. ph <-> -. ps ) )
9	2, 4, 6, 8	ralxpf 5268	. . . 4 |- ( A. x e. ( A X. B ) -. ph <-> A. y e. A A. z e. B -. ps )
10		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. z e. B -. ps <-> -. E. z e. B ps )
11	10	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. A A. z e. B -. ps <-> A. y e. A -. E. z e. B ps )
12	9, 11	bitri 264	. . 3 |- ( A. x e. ( A X. B ) -. ph <-> A. y e. A -. E. z e. B ps )
13	12	notbii 310	. 2 |- ( -. A. x e. ( A X. B ) -. ph <-> -. A. y e. A -. E. z e. B ps )
14		dfrex2 2996	. 2 |- ( E. x e. ( A X. B ) ph <-> -. A. x e. ( A X. B ) -. ph )
15		dfrex2 2996	. 2 |- ( E. y e. A E. z e. B ps <-> -. A. y e. A -. E. z e. B ps )
16	13, 14, 15	3bitr4i 292	1 |- ( E. x e. ( A X. B ) ph <-> E. y e. A E. z e. B ps )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   F/wnf 1708   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by:  iunxpf  5270  wdom2d2  37602