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Theorem rnghmval 41891
Description: The set of the non-unital ring homomorphisms between two non-unital rings. (Contributed by AV, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghm.b |- B = ( Base ` R )
isrnghm.t |- .x. = ( .r ` R )
isrnghm.m |- .* = ( .r ` S )
rnghmval.c |- C = ( Base ` S )
rnghmval.p |- .+ = ( +g ` R )
rnghmval.a |- .+b = ( +g ` S )
Assertion
Ref Expression
rnghmval |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( R RngHomo S ) = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
Distinct variable groups:   B, f, x, y   R, f, x, y   S, f, x, y   C, f
Allowed substitution hints:   C( x, y)   .+ ( x, y, f)   .+b ( x, y, f)   .x. ( x, y, f)   .* ( x, y, f)
Proof of Theorem rnghmval
Dummy variables r s v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghomo 41887 . . 3 |- RngHomo = ( r e. Rng , s e. Rng |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
21a1i 11 . 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> RngHomo = ( r e. Rng , s e. Rng |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } ) )
3 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
4 isrnghm.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
53, 4syl6eqr 2674 . . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
65csbeq1d 3540 . . . . 5 |- ( r = R -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = [_ B / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
7 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
8 rnghmval.c . . . . . . . 8 |- C = ( Base ` S )
97, 8syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = C )
109csbeq1d 3540 . . . . . 6 |- ( s = S -> [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
1110csbeq2dv 3992 . . . . 5 |- ( s = S -> [_ B / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
126, 11sylan9eq 2676 . . . 4 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
1312adantl 482 . . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) /\ ( r = R /\ s = S ) ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
14 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
154, 14eqeltri 2697 . . . . . . 7 |- B e. _V
16 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) e. _V
178, 16eqeltri 2697 . . . . . . 7 |- C e. _V
18 oveq12 6659 . . . . . . . . 9 |- ( ( w = C /\ v = B ) -> ( w ^m v ) = ( C ^m B ) )
1918ancoms 469 . . . . . . . 8 |- ( ( v = B /\ w = C ) -> ( w ^m v ) = ( C ^m B ) )
20 raleq 3138 . . . . . . . . . 10 |- ( v = B -> ( A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2120raleqbi1dv 3146 . . . . . . . . 9 |- ( v = B -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2221adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( v = B /\ w = C ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
2319, 22rabeqbidv 3195 . . . . . . 7 |- ( ( v = B /\ w = C ) -> { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
2415, 17, 23csbie2 3563 . . . . . 6 |- [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) }
2524a1i 11 . . . . 5 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
26 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
27 rnghmval.p . . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` R )
2826, 27syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = .+ )
2928oveqdr 6674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( x ( +g ` r ) y ) = ( x .+ y ) )
3029fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( f ` ( x .+ y ) ) )
31 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
32 rnghmval.a . . . . . . . . . . . . 13 |- .+b = ( +g ` S )
3331, 32syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+b )
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( +g ` s ) = .+b )
3534oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) )
3630, 35eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) ) )
37 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
38 isrnghm.t . . . . . . . . . . . . 13 |- .x. = ( .r ` R )
3937, 38syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
4039oveqdr 6674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( x ( .r ` r ) y ) = ( x .x. y ) )
4140fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( f ` ( x .x. y ) ) )
42 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( .r ` s ) = ( .r ` S ) )
43 isrnghm.m . . . . . . . . . . . . 13 |- .* = ( .r ` S )
4442, 43syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( .r ` s ) = .* )
4544adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( .r ` s ) = .* )
4645oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) )
4741, 46eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) )
4836, 47anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) ) )
4948ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) ) )
5049ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) ) )
5150rabbidv 3189 . . . . 5 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
5225, 51eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
5352adantl 482 . . 3 |- ( ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) /\ ( r = R /\ s = S ) ) -> [_ B / v ]_ [_ C / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
5413, 53eqtrd 2656 . 2 |- ( ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) /\ ( r = R /\ s = S ) ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
55 simpl 473 . 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> R e. Rng )
56 simpr 477 . 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> S e. Rng )
57 ovex 6678 . . . 4 |- ( C ^m B ) e. _V
5857rabex 4813 . . 3 |- { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } e. _V
5958a1i 11 . 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } e. _V )
602, 54, 55, 56, 59ovmpt2d 6788 1 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( R RngHomo S ) = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+b ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Rngcrng 41874   RngHomo crngh 41885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rnghomo 41887
This theorem is referenced by:  isrnghm  41892
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