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Theorem isrnghm 41892
Description: A function is a non-unital ring homomorphism iff it is a group homomorphism and preserves multiplication. (Contributed by AV, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghm.b |- B = ( Base ` R )
isrnghm.t |- .x. = ( .r ` R )
isrnghm.m |- .* = ( .r ` S )
Assertion
Ref Expression
isrnghm |- ( F e. ( R RngHomo S ) <-> ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) /\ ( F e. ( R GrpHom S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, B, y   x, R, y   x, S, y   x, F, y
Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   .* ( x, y)
Proof of Theorem isrnghm
Dummy variable f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 41889 . 2 |- ( F e. ( R RngHomo S ) -> ( R e. Rng /\ S e. Rng ) )
2 isrnghm.b . . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3 isrnghm.t . . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
4 isrnghm.m . . . . 5 |- .* = ( .r ` S )
5 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
6 eqid 2622 . . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
7 eqid 2622 . . . . 5 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
82, 3, 4, 5, 6, 7rnghmval 41891 . . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( R RngHomo S ) = { f e. ( ( Base ` S ) ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } )
98eleq2d 2687 . . 3 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( F e. ( R RngHomo S ) <-> F e. { f e. ( ( Base ` S ) ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } ) )
10 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
11 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
12 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
1311, 12oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) )
1410, 13eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) )
15 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( x .x. y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
1611, 12oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) )
1715, 16eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) <-> ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
19182ralbidv 2989 . . . . 5 |- ( f = F -> ( A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
2019elrab 3363 . . . 4 |- ( F e. { f e. ( ( Base ` S ) ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } <-> ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
21 r19.26-2 3065 . . . . . . 7 |- ( A. x e. B A. y e. B ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) )
2221anbi2i 730 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) <-> ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
23 anass 681 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) <-> ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
2422, 23bitr4i 267 . . . . 5 |- ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) <-> ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) )
252, 5, 6, 7isghm 17660 . . . . . . 7 |- ( F e. ( R GrpHom S ) <-> ( ( R e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) ) )
26 fvex 6201 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) e. _V
27 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) e. _V
282, 27eqeltri 2697 . . . . . . . . . . 11 |- B e. _V
2926, 28pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Base ` S ) e. _V /\ B e. _V )
30 elmapg 7870 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Base ` S ) e. _V /\ B e. _V ) -> ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) <-> F : B --> ( Base ` S ) ) )
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) <-> F : B --> ( Base ` S ) ) )
3231anbi1d 741 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) <-> ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) ) )
33 rngabl 41877 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Rng -> R e. Abel )
34 ablgrp 18198 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Abel -> R e. Grp )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
36 rngabl 41877 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Rng -> S e. Abel )
37 ablgrp 18198 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Abel -> S e. Grp )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( S e. Rng -> S e. Grp )
39 ibar 525 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ S e. Grp ) -> ( ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) <-> ( ( R e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) ) ) )
4035, 38, 39syl2an 494 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) <-> ( ( R e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) ) ) )
4132, 40bitr2d 269 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( ( ( R e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( F : B --> ( Base ` S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) ) <-> ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) ) )
4225, 41syl5rbb 273 . . . . . 6 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) <-> F e. ( R GrpHom S ) ) )
4342anbi1d 741 . . . . 5 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) <-> ( F e. ( R GrpHom S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
4424, 43syl5bb 272 . . . 4 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( ( F e. ( ( Base ` S ) ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( F ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` S ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) <-> ( F e. ( R GrpHom S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
4520, 44syl5bb 272 . . 3 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( F e. { f e. ( ( Base ` S ) ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( ( f ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` S ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x .x. y ) ) = ( ( f ` x ) .* ( f ` y ) ) ) } <-> ( F e. ( R GrpHom S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
469, 45bitrd 268 . 2 |- ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) -> ( F e. ( R RngHomo S ) <-> ( F e. ( R GrpHom S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
471, 46biadan2 674 1 |- ( F e. ( R RngHomo S ) <-> ( ( R e. Rng /\ S e. Rng ) /\ ( F e. ( R GrpHom S ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .* ( F ` y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   Abelcabl 18194  Rngcrng 41874   RngHomo crngh 41885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-ghm 17658  df-abl 18196  df-rng0 41875  df-rnghomo 41887
This theorem is referenced by:  isrnghmmul  41893  rnghmghm  41898  rnghmmul  41900  isrnghm2d  41901  zrrnghm  41917
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