Theorem rnmptbddlem 39455

Description: Boundness of the range of a function in map-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmptbddlem.x	|- F/ x ph
rnmptbddlem.b	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )

Assertion

Ref	Expression
rnmptbddlem	|- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   ph, y, z   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem rnmptbddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptbddlem.b	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. A B <_ y )
2		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
4	3	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B )
6	5	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A z = B )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y ) /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> E. x e. A z = B )
8		rnmptbddlem.x	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ph
9		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x y e. RR
10	8, 9	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ y e. RR )
11		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A B <_ y
12	10, 11	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y )
13		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x z <_ y
14		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A ) -> B <_ y )
15	14	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A /\ z = B ) -> B <_ y )
16		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A /\ z = B ) -> z = B )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B <_ y /\ z = B ) -> z = B )
18		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B <_ y /\ z = B ) -> B <_ y )
19	17, 18	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B <_ y /\ z = B ) -> z <_ y )
20	15, 16, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A B <_ y /\ x e. A /\ z = B ) -> z <_ y )
21	20	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A B <_ y -> ( x e. A -> ( z = B -> z <_ y ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y ) -> ( x e. A -> ( z = B -> z <_ y ) ) )
23	12, 13, 22	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y ) -> ( E. x e. A z = B -> z <_ y ) )
24	23	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y ) /\ E. x e. A z = B ) -> z <_ y )
25	7, 24	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y ) /\ z e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> z <_ y )
26	25	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. x e. A B <_ y ) -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
27	26	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. x e. A B <_ y -> A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
28	27	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
29	1, 28	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rnmptbdd  39456