Theorem rspval 19193

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspval	|- (RSpan ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) )

Proof of Theorem rspval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 19175	. . 3 |- RSpan = ( LSpan o. ringLMod )
2	1	fveq1i 6192	. 2 |- (RSpan ` W ) = ( ( LSpan o. ringLMod ) ` W )
3		00lsp 18981	. . 3 |- (/) = ( LSpan ` (/) )
4		rlmfn 19190	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
5		fnfun 5988	. . . 4 |- (ringLMod Fn _V -> Fun ringLMod )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- Fun ringLMod
7	3, 6	fvco4i 6276	. 2 |- ( ( LSpan o. ringLMod ) ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) )
8	2, 7	eqtri 2644	1 |- (RSpan ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) )

Syntax hints:   = wceq 1483   _Vcvv 3200   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   LSpanclspn 18971  ringLModcrglmod 19169  RSpancrsp 19171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-slot 15861  df-base 15863  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-rgmod 19173  df-rsp 19175

This theorem is referenced by:  rspcl  19222  rspssid  19223  rsp0  19225  rspssp  19226  mrcrsp  19227  lidlrsppropd  19230  rspsn  19254  islnr2  37684