Theorem setsres 15901

Description: The structure replacement function does not affect the value of S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsres	|- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Proof of Theorem setsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . . 4 |- <. A , B >. e. _V
2		setsvalg 15887	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
3	1, 2	mpan2 707	. . 3 |- ( S e. V -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
4	3	reseq1d 5395	. 2 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
5		resundir 5411	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
6		dmsnopss 5607	. . . . . . 7 |- dom { <. A , B >. } C_ { A }
7		sscon 3744	. . . . . . 7 |- ( dom { <. A , B >. } C_ { A } -> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } )
9		resabs1 5427	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
11		dmres 5419	. . . . . . 7 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } )
12		disj2 4024	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) <-> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
13	8, 12	mpbir 221	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/)
14	11, 13	eqtri 2644	. . . . . 6 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/)
15		relres 5426	. . . . . . 7 |- Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) )
16		reldm0 5343	. . . . . . 7 |- ( Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) -> ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
18	14, 17	mpbir 221	. . . . 5 |- ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/)
19	10, 18	uneq12i 3765	. . . 4 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) )
20		un0 3967	. . . 4 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
21	19, 20	eqtri 2644	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
22	5, 21	eqtri 2644	. 2 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
23	4, 22	syl6eq 2672	1 |- ( S e. V -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119  (class class class)co 6650   sSet csts 15855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-sets 15864

This theorem is referenced by:  setsabs  15902  setsnid  15915  mdetunilem9  20426