Theorem reldm0 5343

Description: A relation is empty iff its domain is empty. (Contributed by NM, 15-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Proof of Theorem reldm0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 5243	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 5209	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel (/) ) -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
3	1, 2	mpan2 707	. 2 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) ) )
4		eq0 3929	. . 3 |- ( dom A = (/) <-> A. x -. x e. dom A )
5		alnex 1706	. . . . . 6 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. E. y <. x , y >. e. A )
6		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	6	eldm2 5322	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
8	5, 7	xchbinxr 325	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> -. x e. dom A )
9		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. <. x , y >. e. (/)
10	9	nbn 362	. . . . . 6 |- ( -. <. x , y >. e. A <-> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
11	10	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. y -. <. x , y >. e. A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
12	8, 11	bitr3i 266	. . . 4 |- ( -. x e. dom A <-> A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
13	12	albii 1747	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) )
14	4, 13	bitr2i 265	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. (/) ) <-> dom A = (/) )
15	3, 14	syl6bb 276	1 |- ( Rel A -> ( A = (/) <-> dom A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   (/)c0 3915   <.cop 4183   dom cdm 5114   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-dm 5124

This theorem is referenced by:  relrn0  5383  coeq0  5644  fnresdisj  6001  fn0  6011  fresaunres2  6076  funopsn  6413  fsnunfv  6453  frxp  7287  domss2  8119  swrd0  13434  setsres  15901  pmtrsn  17939  gsumval3  18308  00lsp  18981  metn0  22165  wlkn0  26516  eulerpath  27101  funresdm1  29416  dfrdg2  31701  mbfresfi  33456  mapfzcons1  37280  diophrw  37322  eldioph2lem1  37323  eldioph2lem2  37324  sge0cl  40598