Theorem sigaex 30172

Description: Lemma for issiga 30174 and isrnsiga 30176. The class of sigma-algebras with base set o is a set. Note: a more generic version with ( O e. _V -> ... ) could be useful for sigaval 30173. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaex	|- { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V

Distinct variable group:   o, s

Proof of Theorem sigaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. . 3 |- { s e. ~P ~P o | ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
2		selpw 4165	. . . . 5 |- ( s e. ~P ~P o <-> s C_ ~P o )
3	2	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( s e. ~P ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii 2739	. . 3 |- { s | ( s e. ~P ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1, 4	eqtri 2644	. 2 |- { s e. ~P ~P o | ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
6		vex 3203	. . . 4 |- o e. _V
7		pwexg 4850	. . . 4 |- ( o e. _V -> ~P o e. _V )
8		pwexg 4850	. . . 4 |- ( ~P o e. _V -> ~P ~P o e. _V )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 |- ~P ~P o e. _V
10	9	rabex 4813	. 2 |- { s e. ~P ~P o | ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V
11	5, 10	eqeltrri 2698	1 |- { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160

This theorem is referenced by:  issiga  30174  isrnsiga  30176