Theorem sigaval 30173

Description: The set of sigma-algebra with a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sigaval	|- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Distinct variable group:   x, s, O

Proof of Theorem sigaval

Dummy variable o is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. . . 4 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
2		selpw 4165	. . . . . 6 |- ( s e. ~P ~P O <-> s C_ ~P O )
3	2	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii 2739	. . . 4 |- { s | ( s e. ~P ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1, 4	eqtri 2644	. . 3 |- { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) }
6		pwexg 4850	. . . 4 |- ( O e. _V -> ~P O e. _V )
7		pwexg 4850	. . . 4 |- ( ~P O e. _V -> ~P ~P O e. _V )
8		rabexg 4812	. . . 4 |- ( ~P ~P O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . 3 |- ( O e. _V -> { s e. ~P ~P O | ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) } e. _V )
10	5, 9	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( O e. _V -> { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V )
11		pweq 4161	. . . . . 6 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
12	11	sseq2d 3633	. . . . 5 |- ( o = O -> ( s C_ ~P o <-> s C_ ~P O ) )
13		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( o e. s <-> O e. s ) )
14		difeq1 3721	. . . . . . . 8 |- ( o = O -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( o = O -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. s ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. s ( O \ x ) e. s ) )
17	13, 16	3anbi12d 1400	. . . . 5 |- ( o = O -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) )
18	12, 17	anbi12d 747	. . . 4 |- ( o = O -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) ) )
19	18	abbidv 2741	. . 3 |- ( o = O -> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
20		df-siga 30171	. . 3 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
21	19, 20	fvmptg 6280	. 2 |- ( ( O e. _V /\ { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V ) -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
22	10, 21	mpdan 702	1 |- ( O e. _V -> (sigAlgebra ` O ) = { s | ( s C_ ~P O /\ ( O e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-siga 30171

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