Theorem isrnsiga 30176

Description: The property of being a sigma-algebra on an indefinite base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2016.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 23-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isrnsiga	|- ( S e. U. ran sigAlgebra <-> ( S e. _V /\ E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, o, S

Proof of Theorem isrnsiga

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-siga 30171	. . 3 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
2		sigaex 30172	. . 3 |- { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V
3		sseq1 3626	. . . 4 |- ( s = S -> ( s C_ ~P o <-> S C_ ~P o ) )
4		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( s = S -> ( o e. s <-> o e. S ) )
5		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( o \ x ) e. S ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( s = S -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
7		pweq 4161	. . . . . 6 |- ( s = S -> ~P s = ~P S )
8		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( U. x e. s <-> U. x e. S ) )
9	8	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( x ~<_ om -> U. x e. s ) <-> ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
10	7, 9	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( s = S -> ( A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) <-> A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
11	4, 6, 10	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( s = S -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
12	3, 11	anbi12d 747	. . 3 |- ( s = S -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
13	1, 2, 12	abfmpunirn 29452	. 2 |- ( S e. U. ran sigAlgebra <-> ( S e. _V /\ E. o e. _V ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
14		rexv 3220	. . 3 |- ( E. o e. _V ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) <-> E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
15	14	anbi2i 730	. 2 |- ( ( S e. _V /\ E. o e. _V ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) <-> ( S e. _V /\ E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
16	13, 15	bitri 264	1 |- ( S e. U. ran sigAlgebra <-> ( S e. _V /\ E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  0elsiga  30177  sigaclcu  30180  issgon  30186