Theorem issiga 30174

Description: An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issiga	|- ( S e. _V -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, O   x, S

Proof of Theorem issiga

Dummy variables o s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6221	. . . 4 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> O e. _V )
2		elex 3212	. . . 4 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> S e. _V )
3	1, 2	jca 554	. . 3 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> ( O e. _V /\ S e. _V ) )
4	3	a1i 11	. 2 |- ( S e. _V -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> ( O e. _V /\ S e. _V ) ) )
5		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> O e. S )
6		elex 3212	. . . . 5 |- ( O e. S -> O e. _V )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> O e. _V )
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( S e. _V -> ( ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> O e. _V ) )
9	8	anc2ri 581	. 2 |- ( S e. _V -> ( ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> ( O e. _V /\ S e. _V ) ) )
10		df-siga 30171	. . . 4 |- sigAlgebra = ( o e. _V |-> { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } )
11		sigaex 30172	. . . 4 |- { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V
12		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( o = O -> ~P o = ~P O )
13	12	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( o = O -> ( s C_ ~P o <-> s C_ ~P O ) )
14		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( s C_ ~P O <-> S C_ ~P O ) )
15	13, 14	sylan9bb 736	. . . . 5 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( s C_ ~P o <-> S C_ ~P O ) )
16		eleq12 2691	. . . . . 6 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( o e. s <-> O e. S ) )
17		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> s = S )
18		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( o = O -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( o \ x ) = ( O \ x ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. s ) )
21		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( O \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. S ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( ( O \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. S ) )
23	20, 22	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( ( o \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. S ) )
24	17, 23	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( A. x e. s ( o \ x ) e. s <-> A. x e. S ( O \ x ) e. S ) )
25		pweq 4161	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ~P s = ~P S )
26		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( U. x e. s <-> U. x e. S ) )
27	26	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( x ~<_ om -> U. x e. s ) <-> ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
28	25, 27	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) <-> A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) <-> A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
30	16, 24, 29	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) <-> ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
31	15, 30	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( o = O /\ s = S ) -> ( ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
32	10, 11, 31	abfmpel 29455	. . 3 |- ( ( O e. _V /\ S e. _V ) -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
33	32	a1i 11	. 2 |- ( S e. _V -> ( ( O e. _V /\ S e. _V ) -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) ) )
34	4, 9, 33	pm5.21ndd 369	1 |- ( S e. _V -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  baselsiga  30178  sigasspw  30179  issgon  30186  isrnsigau  30190  dmvlsiga  30192  pwsiga  30193  prsiga  30194  sigainb  30199  insiga  30200  sigapildsys  30225  imambfm  30324  carsgsiga  30384