Theorem sprsymrelfolem1 41742

Description: Lemma 1 for sprsymrelfo 41747. (Contributed by AV, 22-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sprsymrelfo.q	|- Q = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) }

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelfolem1	|- Q e. ~P (Pairs ` V )

Distinct variable group:   V, q

Allowed substitution hints:   Q( q, a, b)   R( q, a, b)   V( a, b)

Proof of Theorem sprsymrelfolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelfo.q	. 2 |- Q = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) }
2		fvex 6201	. . 3 |- (Pairs ` V ) e. _V
3		ssrab2 3687	. . 3 |- { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) } C_ (Pairs ` V )
4	2, 3	elpwi2 4829	. 2 |- { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) } e. ~P (Pairs ` V )
5	1, 4	eqeltri 2697	1 |- Q e. ~P (Pairs ` V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  sprsymrelfo  41747