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Theorem sprsymrelfolem2 41743
Description: Lemma 2 for sprsymrelfo 41747. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sprsymrelfo.q |- Q = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) }
Assertion
Ref Expression
sprsymrelfolem2 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( x R y <-> E. c e. Q c = { x , y } ) )
Distinct variable groups:   V, q   Q, c   R, a, b, c, q, x, y   V, a, b, c, x, y   W, a, b, c
Allowed substitution hints:   Q( x, y, q, a, b)   W( x, y, q)
Proof of Theorem sprsymrelfolem2
StepHypRef Expression
1 df-br 4654 . . . . . . . 8 |- ( x R y <-> <. x , y >. e. R )
2 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) -> V e. W )
3 ssel 3597 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R C_ ( V X. V ) -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. ( V X. V ) ) )
43adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. ( V X. V ) ) )
54imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) /\ <. x , y >. e. R ) -> <. x , y >. e. ( V X. V ) )
6 opelxp 5146 . . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. ( V X. V ) <-> ( x e. V /\ y e. V ) )
75, 6sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) /\ <. x , y >. e. R ) -> ( x e. V /\ y e. V ) )
8 prelspr 41736 . . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> { x , y } e. (Pairs ` V ) )
92, 7, 8syl2an2r 876 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) /\ <. x , y >. e. R ) -> { x , y } e. (Pairs ` V ) )
109ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) -> ( <. x , y >. e. R -> { x , y } e. (Pairs ` V ) ) )
111, 10syl5bi 232 . . . . . . 7 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) ) -> ( x R y -> { x , y } e. (Pairs ` V ) ) )
12113adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( x R y -> { x , y } e. (Pairs ` V ) ) )
1312imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> { x , y } e. (Pairs ` V ) )
14 vex 3203 . . . . . . . 8 |- x e. _V
15 vex 3203 . . . . . . . 8 |- y e. _V
16 vex 3203 . . . . . . . 8 |- a e. _V
17 vex 3203 . . . . . . . 8 |- b e. _V
1814, 15, 16, 17preq12b 4382 . . . . . . 7 |- ( { x , y } = { a , b } <-> ( ( x = a /\ y = b ) \/ ( x = b /\ y = a ) ) )
19 breq12 4658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x R y <-> a R b ) )
2019biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( x R y -> a R b ) )
2120com12 32 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x R y -> ( ( x = a /\ y = b ) -> a R b ) )
2221adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> ( ( x = a /\ y = b ) -> a R b ) )
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( x = a /\ y = b ) -> a R b ) )
2423com12 32 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = a /\ y = b ) -> ( ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> a R b ) )
25 rsp2 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( x R y <-> y R x ) ) )
2625ancomsd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) -> ( ( y e. V /\ x e. V ) -> ( x R y <-> y R x ) ) )
2726imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) /\ ( y e. V /\ x e. V ) ) -> ( x R y <-> y R x ) )
2827biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) /\ ( y e. V /\ x e. V ) ) -> ( x R y -> y R x ) )
2928ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) -> ( ( y e. V /\ x e. V ) -> ( x R y -> y R x ) ) )
30293ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( ( y e. V /\ x e. V ) -> ( x R y -> y R x ) ) )
3130com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( x R y -> ( ( y e. V /\ x e. V ) -> y R x ) ) )
3231imp 445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> ( ( y e. V /\ x e. V ) -> y R x ) )
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = b /\ y = a ) /\ ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) ) -> ( ( y e. V /\ x e. V ) -> y R x ) )
34 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( y e. V <-> a e. V ) )
35 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( x e. V <-> b e. V ) )
3634, 35bi2anan9r 918 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = a ) -> ( ( y e. V /\ x e. V ) <-> ( a e. V /\ b e. V ) ) )
37 breq12 4658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = a /\ x = b ) -> ( y R x <-> a R b ) )
3837ancoms 469 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = a ) -> ( y R x <-> a R b ) )
3936, 38imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = a ) -> ( ( ( y e. V /\ x e. V ) -> y R x ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) -> a R b ) ) )
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = b /\ y = a ) /\ ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) ) -> ( ( ( y e. V /\ x e. V ) -> y R x ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) -> a R b ) ) )
4133, 40mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x = b /\ y = a ) /\ ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) ) -> ( ( a e. V /\ b e. V ) -> a R b ) )
4241expimpd 629 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = a ) -> ( ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> a R b ) )
4324, 42jaoi 394 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = a /\ y = b ) \/ ( x = b /\ y = a ) ) -> ( ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> a R b ) )
4443com12 32 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( ( ( x = a /\ y = b ) \/ ( x = b /\ y = a ) ) -> a R b ) )
4518, 44syl5bi 232 . . . . . 6 |- ( ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( { x , y } = { a , b } -> a R b ) )
4645ralrimivva 2971 . . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> A. a e. V A. b e. V ( { x , y } = { a , b } -> a R b ) )
47 sprsymrelfo.q . . . . . . 7 |- Q = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) }
4847eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( { x , y } e. Q <-> { x , y } e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) } )
49 eqeq1 2626 . . . . . . . . 9 |- ( q = { x , y } -> ( q = { a , b } <-> { x , y } = { a , b } ) )
5049imbi1d 331 . . . . . . . 8 |- ( q = { x , y } -> ( ( q = { a , b } -> a R b ) <-> ( { x , y } = { a , b } -> a R b ) ) )
51502ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( q = { x , y } -> ( A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) <-> A. a e. V A. b e. V ( { x , y } = { a , b } -> a R b ) ) )
5251elrab 3363 . . . . . 6 |- ( { x , y } e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) } <-> ( { x , y } e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( { x , y } = { a , b } -> a R b ) ) )
5348, 52bitri 264 . . . . 5 |- ( { x , y } e. Q <-> ( { x , y } e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( { x , y } = { a , b } -> a R b ) ) )
5413, 46, 53sylanbrc 698 . . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> { x , y } e. Q )
55 eqidd 2623 . . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> { x , y } = { x , y } )
56 eqeq1 2626 . . . . 5 |- ( c = { x , y } -> ( c = { x , y } <-> { x , y } = { x , y } ) )
5756rspcev 3309 . . . 4 |- ( ( { x , y } e. Q /\ { x , y } = { x , y } ) -> E. c e. Q c = { x , y } )
5854, 55, 57syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) /\ x R y ) -> E. c e. Q c = { x , y } )
5958ex 450 . 2 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( x R y -> E. c e. Q c = { x , y } ) )
6047eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( c e. Q <-> c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) } )
61 eqeq1 2626 . . . . . . . . 9 |- ( q = c -> ( q = { a , b } <-> c = { a , b } ) )
6261imbi1d 331 . . . . . . . 8 |- ( q = c -> ( ( q = { a , b } -> a R b ) <-> ( c = { a , b } -> a R b ) ) )
63622ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( q = c -> ( A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) <-> A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) )
6463elrab 3363 . . . . . 6 |- ( c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a R b ) } <-> ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) )
6560, 64bitri 264 . . . . 5 |- ( c e. Q <-> ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) )
66 eleq1 2689 . . . . . . . . . . 11 |- ( c = { x , y } -> ( c e. (Pairs ` V ) <-> { x , y } e. (Pairs ` V ) ) )
67 prsprel 41737 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { x , y } e. (Pairs ` V ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x e. V /\ y e. V ) )
6814, 15, 67mpanr12 721 . . . . . . . . . . 11 |- ( { x , y } e. (Pairs ` V ) -> ( x e. V /\ y e. V ) )
6966, 68syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 |- ( c = { x , y } -> ( c e. (Pairs ` V ) -> ( x e. V /\ y e. V ) ) )
7069com12 32 . . . . . . . . 9 |- ( c e. (Pairs ` V ) -> ( c = { x , y } -> ( x e. V /\ y e. V ) ) )
7170adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) -> ( c = { x , y } -> ( x e. V /\ y e. V ) ) )
7271imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) /\ c = { x , y } ) -> ( x e. V /\ y e. V ) )
73 preq1 4268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> { a , b } = { x , b } )
7473eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( c = { a , b } <-> c = { x , b } ) )
75 breq1 4656 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( a R b <-> x R b ) )
7674, 75imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( ( c = { a , b } -> a R b ) <-> ( c = { x , b } -> x R b ) ) )
77 preq2 4269 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = y -> { x , b } = { x , y } )
7877eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( c = { x , b } <-> c = { x , y } ) )
79 breq2 4657 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = y -> ( x R b <-> x R y ) )
8078, 79imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 |- ( b = y -> ( ( c = { x , b } -> x R b ) <-> ( c = { x , y } -> x R y ) ) )
8176, 80rspc2v 3322 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) -> ( c = { x , y } -> x R y ) ) )
8281a1d 25 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( c e. (Pairs ` V ) -> ( A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) -> ( c = { x , y } -> x R y ) ) ) )
8382imp4c 617 . . . . . . 7 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) /\ c = { x , y } ) -> x R y ) )
8472, 83mpcom 38 . . . . . 6 |- ( ( ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) /\ c = { x , y } ) -> x R y )
8584a1d 25 . . . . 5 |- ( ( ( c e. (Pairs ` V ) /\ A. a e. V A. b e. V ( c = { a , b } -> a R b ) ) /\ c = { x , y } ) -> ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> x R y ) )
8665, 85sylanb 489 . . . 4 |- ( ( c e. Q /\ c = { x , y } ) -> ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> x R y ) )
8786rexlimiva 3028 . . 3 |- ( E. c e. Q c = { x , y } -> ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> x R y ) )
8887com12 32 . 2 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( E. c e. Q c = { x , y } -> x R y ) )
8959, 88impbid 202 1 |- ( ( V e. W /\ R C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x R y <-> y R x ) ) -> ( x R y <-> E. c e. Q c = { x , y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  Pairscspr 41727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728
This theorem is referenced by:  sprsymrelfo  41747
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