Theorem sprsymrelfo 41747

Description: The mapping F is a function from the subsets of the set of pairs over a fixed set V onto the symmetric relations R on the fixed set V. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	|- P = ~P (Pairs ` V )
sprsymrelf.r	|- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
sprsymrelf.f	|- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )

Assertion

Ref	Expression
sprsymrelfo	|- ( V e. W -> F : P -onto-> R )

Distinct variable groups:   P, p   V, c, x, y   p, c, x, y, r   R, p   V, r, c, x, y   W, c, x, y

Allowed substitution hints:   P( x, y, r, c)   R( x, y, r, c)   F( x, y, r, p, c)   V( p)   W( r, p)

Proof of Theorem sprsymrelfo

Dummy variables a b f q t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . . 4 |- P = ~P (Pairs ` V )
2		sprsymrelf.r	. . . 4 |- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
3		sprsymrelf.f	. . . 4 |- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )
4	1, 2, 3	sprsymrelf 41745	. . 3 |- F : P --> R
5	4	a1i 11	. 2 |- ( V e. W -> F : P --> R )
6		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( r = t -> ( x r y <-> x t y ) )
7		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( r = t -> ( y r x <-> y t x ) )
8	6, 7	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( r = t -> ( ( x r y <-> y r x ) <-> ( x t y <-> y t x ) ) )
9	8	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( r = t -> ( A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) <-> A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) )
10	9, 2	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( t e. R <-> ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) }
12	11	sprsymrelfolem1 41742	. . . . . . . . . 10 |- { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } e. ~P (Pairs ` V )
13	12, 1	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 |- { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } e. P
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) -> { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } e. P )
15		rexeq 3139	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } -> ( E. c e. f c = { x , y } <-> E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } ) )
16	15	opabbidv 4716	. . . . . . . . . 10 |- ( f = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } -> { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } )
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( f = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } -> ( t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } <-> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) /\ f = { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } ) -> ( t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } <-> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) )
19		selpw 4165	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ~P ( V X. V ) <-> t C_ ( V X. V ) )
20		xpss 5226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( V X. V ) C_ ( _V X. _V )
21		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t C_ ( V X. V ) -> ( ( V X. V ) C_ ( _V X. _V ) -> t C_ ( _V X. _V ) ) )
22	20, 21	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t C_ ( V X. V ) -> t C_ ( _V X. _V ) )
23		df-rel 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel t <-> t C_ ( _V X. _V ) )
24	22, 23	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t C_ ( V X. V ) -> Rel t )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> Rel t )
26		dfrel4v 5584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Rel t <-> t = { <. x , y >. | x t y } )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) )
28		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x )
29	27, 28	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) )
30		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) )
31		nfra2 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x )
32	30, 31	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ y ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) )
33	11	sprsymrelfolem2 41743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( x t y <-> E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } ) )
34	33	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( x t y <-> E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } ) )
35	29, 32, 34	opabbid 4715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> { <. x , y >. | x t y } = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } )
36	35	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } <-> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) )
37	36	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) )
38	37	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) )
39	38	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) )
40	26, 39	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( Rel t -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) )
41	25, 40	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) )
42	41	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( t C_ ( V X. V ) -> ( V e. W -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) )
43	42	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( t C_ ( V X. V ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> ( V e. W -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) )
44	19, 43	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ~P ( V X. V ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> ( V e. W -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) )
45	44	imp31 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. (Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } )
46	14, 18, 45	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } )
47	46	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( V e. W -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) )
48	10, 47	sylbi 207	. . . . 5 |- ( t e. R -> ( V e. W -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) )
49	48	impcom 446	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ t e. R ) -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } )
50	1, 2, 3	sprsymrelfv 41744	. . . . . . 7 |- ( f e. P -> ( F ` f ) = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } )
51	50	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ t e. R ) /\ f e. P ) -> ( F ` f ) = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } )
52	51	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ t e. R ) /\ f e. P ) -> ( t = ( F ` f ) <-> t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) )
53	52	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ t e. R ) -> ( E. f e. P t = ( F ` f ) <-> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) )
54	49, 53	mpbird 247	. . 3 |- ( ( V e. W /\ t e. R ) -> E. f e. P t = ( F ` f ) )
55	54	ralrimiva 2966	. 2 |- ( V e. W -> A. t e. R E. f e. P t = ( F ` f ) )
56		dffo3 6374	. 2 |- ( F : P -onto-> R <-> ( F : P --> R /\ A. t e. R E. f e. P t = ( F ` f ) ) )
57	5, 55, 56	sylanbrc 698	1 |- ( V e. W -> F : P -onto-> R )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Rel wrel 5119   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  sprsymrelf1o  41748